Logistic Map Pseudo Random Number Generator in FPGA

Resumen Técnico: Generador de Números Pseudoaleatorios de Mapa Logístico en FPGA

Planteamiento del Problema
El proyecto aborda la necesidad de un generador de números pseudoaleatorios (PRNG) fiable, adecuado para su implementación en hardware digital, específicamente en matrices de puertas programables en campo (FPGA). Si bien se sabe que los sistemas caóticos son sensibles a las condiciones iniciales (semillas) y poseen una imprevisibilidad determinista, generar salidas que sigan una distribución estadística específica —particularmente una distribución Gaussiana (Normal)— sigue siendo un desafío. Las salidas caóticas tradicionales suelen exhibir dependencias entre valores sucesivos, lo que complica la aplicación directa del Teorema del Límite Central (TLC). Además, implementar ecuaciones caóticas continuas en FPGAs es difícil debido a que el hardware depende de la aritmética entera discreta en lugar de decimales de punto flotante.

Metodología
Los autores desarrollaron un sistema PRNG basado en el mapa logístico, un modelo caótico definido por la ecuación $x_{n+1} = r \cdot x_n(1 - x_n)$. La implementación siguió un enfoque descendente (top-down) utilizando Verilog HDL en una placa CMOD-A7 FPGA.

1. Adaptación del Algoritmo:

   • Mapa Logístico: Para adaptarse a las restricciones de la FPGA, el mapa logístico continuo se reescaló a un dominio de enteros de 16 bits (0 a 65,535). El parámetro $r$ se fijó en 4 para asegurar el comportamiento caótico.
   • Transformación Gaussiana: Para transformar la salida caótica en una distribución Gaussiana, los autores aplicaron una técnica de Promedio Móvil Exponencialmente Ponderado (EWMA). Este método suaviza los datos y mitiga las correlaciones entre valores sucesivos, permitiendo teóricamente que el TLC se aplique a las variables dependientes. La fórmula EWMA utilizada fue $EWA_t = \alpha \cdot r_t + (1 - \alpha) \cdot EWA_{t-1}$, con $\alpha$ establecido en $40/50$ basado en simulaciones preliminares en Julia.
   • Generación de Semilla: El sistema utiliza una semilla en tiempo real derivada de un sensor de micrófono XADC, que captura el volumen del sonido ambiental. Esto asegura que las condiciones iniciales sean dinámicas y dependientes del entorno físico.

2. Implementación de Hardware:

   • La arquitectura del sistema incluye módulos para el mapa logístico caótico (chaotic_Lmap), el promedio EWMA (EWMA_avg), un transmisor UART para el registro de datos, un controlador de visualización de 7 segmentos para la visualización y generadores de reloj.
   • Un bucle de retroalimentación en el módulo superior asegura que la salida del mapa logístico se retroalimente a su entrada para la generación iterativa.
   • Los datos se transmiten vía UART a una computadora portátil, donde un script de Python recolecta los enteros de 16 bits, construye un histograma y superpone una curva de distribución normal teórica para su verificación.

3. Configuración Física:

   • El equipo diseñó e imprimió en 3D una carcasa cónica para albergar el micrófono y la placa FPGA. Esta estructura concentra el sonido de un altavoz de teléfono hacia el micrófono, amplificando la señal para generar semillas robustas para el PRNG.

Contribuciones Clave

• Implementación en FPGA de un PRNG Caótico: La traducción exitosa del mapa logístico y el algoritmo EWMA a un diseño funcional de Verilog HDL en una FPGA CMOD-A7.
• Distribución Gaussiana mediante el TLC: La demostración de que aplicar EWMA a las salidas del mapa logístico caótico puede producir una distribución Gaussiana, validada mediante simulación de hardware y recolección de datos del mundo real.
• Semilla Impulsada por Sensores: La integración de un sensor analógico (micrófono) a través de XADC para proporcionar una semilla dinámica y dependiente del entorno, yendo más allá de una inicialización puramente algorítmica o estática.
• Sistema de Verificación de Extremo a Extremo: Un flujo de trabajo completo desde la generación de hardware hasta el análisis de software (graficación de histogramas en Python) para verificar las propiedades estadísticas de los números generados.

Resultimientos
El sistema fue probado durante un tiempo de ejecución de aproximadamente 5 minutos (aproximadamente 60 iteraciones de recolección de datos para el análisis inicial). Los resultados mostraron que las salidas del PRNG exhibieron consistentemente una distribución Gaussiana.

• Verificación Visual: Los histogramas de los datos recibidos vía UART se superpusieron estrechamente con la curva de distribución normal teórica calculada utilizando la media y la desviación estándar de los datos.
• Aleatoriedad: Los gráficos de series temporales de los valores de salida no mostraron patrones periódicos, confirmando la naturaleza caótica de la secuencia.
• Limitaciones: Los autores señalan que, si bien el ajuste a la curva Gaussiana fue exitoso, un tiempo de ejecución más largo (miles de iteraciones) probablemente produciría un histograma más suave y preciso.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma demostrar la utilidad práctica y la efectividad de los sistemas caóticos, específicamente el mapa logístico, en el ámbito de la generación de números pseudoaleatorios dentro del hardware digital. Al integrar con éxito el Teorema del Límite Central con el suavizado EWMA en una FPGA, el proyecto valida un método para generar números pseudoaleatorios con distribución Gaussiana a partir de una fuente determinista caótica. El trabajo destaca el potencial de utilizar modelos caóticos simples combinados con técnicas de suavizado estadístico para crear PRNGs eficientes, fiables y fácilmente implementables en hardware que pueden ser sembrados por fenómenos físicos del mundo real.