A positive density of elliptic curves are diophantine stable in certain Galois extensions

Sintesi Tecnica: Una densità positiva di curve ellittiche è diophantine stabile in certe estensioni galoisiane

Enunciato del Problema
Il saggio affronta il problema della stabilità diofantica per le curve ellittiche. Seguendo la definizione di Mazur e Rubin [MR18], una curva ellittica $E$ definita su $\mathbb{Q}$ è diophantine stabile in un'estensione di campi numerici $L/\mathbb{Q}$ se l'inclusione naturale induce un'uguaglianza $E(L) = E(\mathbb{Q})$. Mentre lavori precedenti (ad esempio [MR18]) hanno stabilito che, per una curva ellittica fissa, esistono infinitamente molti estensioni cicliche in cui la curva è diophantine stabile, questo saggio inverte la prospettiva. Gli autori fissano una specifica estensione ciclica $p$-estensione $L/\mathbb{Q}$ (dove $p \in \{3, 5\}$) e investigano la densità delle curve ellittiche $E/\mathbb{Q}$, ordinate per altezza, che sono diophantine stabili in questa estensione fissa. Nello specifico, cercano di dimostrare l'esistenza di una densità positiva di tali curve dove $E(L) = E(\mathbb{Q}) = 0$.

Metodologia
Gli autori impiegano una combinazione di coomologia galoisiana, statistica aritmetica e teoria del setaccio. La metodologia procede in tre fasi principali:

1. Stabilità coomologica dei gruppi di Selmer:
   Gli autori stabiliscono le condizioni sotto le quali il gruppo di Selmer-$p$ di una curva ellittica rimane banale mediante base change da $\mathbb{Q}$ a $L$. Basandosi sugli argomenti di Česnavičius [Č17] e Brau [Bra14], analizzano la mappa di restrizione tra i gruppi di Selmer $S_p(E/\mathbb{Q}) \to S_p(E/L)^G$. Essi dimostrano che se $S_p(E/\mathbb{Q}) = 0$ e specifiche condizioni locali sono soddisfatte nei primi che dividono $p$ e nei primi ramificati in $L$, allora $S_p(E/L) = 0$. Ciò implica che il rango di $E(L)$ è 0 e il $p$-torsione è banale.

2. Statistica aritmetica e formulazione della densità:
   Per contare le curve, gli autori utilizzano il quadro di Bhargava e Shankar [BS15a, BS15b, BS13], che mette in relazione la dimensione media dei gruppi di $p$-Selmer con la geometria dei numeri. Definiscono una "grande famiglia" di curve ellittiche $F$ definite da condizioni di congruenza locale (condizioni di congruenza sui coefficienti $A$ e $B$ dell'equazione di Weierstrass).

   • Controllano il sottogruppo di torsione mostrando che per un insieme di densità 1 di curve, $E(L)_{\text{tors}} = 0$, facendo affidamento sul Teorema dell'Immagine Aperta di Serre e sul risultato di Duke [Duk97] riguardante i primi eccezionali.
   • Controllano il rango costruendo una famiglia in cui il numero di root $\omega(E)$ è $+1$ per esattamente il 50% delle curve. In questo modo, tramite il Teorema 3.11 (derivato da Bhargava-Shankar), si assicura che una proporzione positiva di curve nella famiglia abbia $S_p(E/\mathbb{Q}) = 0$.

3. Argomenti di teoria del setaccio:
   Gli autori definiscono una specifica famiglia $\mathcal{E}$ di curve ellittiche che soddisfano condizioni locali nei primi che ramificano in $L$ (indicati con $\mathcal{Z}$) e nei primi 2 e $p$. Queste condizioni garantiscono:

   • Buona riduzione in $p$ e in tutti i $\ell \in \mathcal{Z}$.
   • $p$-torsione banale sia per $E$ che per la sua torsione quadratica $E^{-1}$ sui campi residui $\mathbb{F}_\ell$ per $\ell \in \mathcal{Z}$.
   • Specifici tipi di riduzione in 2 (riduzione additiva) per controllare i numeri di root.
     Utilizzando il Lemma 4.6 e calcoli espliciti (verificati tramite codice Sagemath nel Remark 4.7), dimostrano che le condizioni locali nei primi ramificati sono soddisfacibili per primi sufficientemente grandi (specificamente $\ell \ge 5779$ per $p=5$ e $\ell \ge 233$ per $p=3$). Applicano poi un argomento di setaccio (Proposizione 4.8) per mostrare che l'intersezione di queste condizioni locali produce una famiglia con una densità inferiore positiva computabile.

Contributi Chiave e Risultati
Il risultato primario è il Teorema 3.8, che afferma:
Sia $p \in \{3, 5\}$ e $L/\mathbb{Q}$ un'estensione galoisiana con $\text{Gal}(L/\mathbb{Q}) \simeq \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. Sia $\mathcal{Z}$ l'insieme dei primi che ramificano in $L$. Se:

1. $p \notin \mathcal{Z}$ e 2 si scinde completamente in $L$;
2. Per ogni $\ell \in \mathcal{Z}$, esiste una curva ellittica su $\mathbb{F}_\ell$ con $p$-torsione banale sia per la curva che per la sua torsione quadratica per $-1$;

Allora esiste una densità positiva di curve ellittiche $E/\mathbb{Q}$ tali che $E(L) = E(\mathbb{Q}) = 0$.

Il saggio fornisce un limite inferiore esplicito per questa densità, dato dal prodotto:
$$\eta_p \prod_{\ell} \delta_\ell$$
dove $\eta_p$ è $1/4$ per $p=3$ e $3/8$ per $p=5$, e $\delta_\ell$ sono fattori locali dipendenti dal tipo di riduzione e ramificazione. Ad esempio, nel caso in cui $p=3$ e $L$ sia il sottocampo cubico di $\mathbb{Q}(\mu_{31})$, gli autori calcolano un limite inferiore specifico che coinvolge il termine $585/961$ derivato dal conteggio delle curve valide su $\mathbb{F}_{31}$.

Significato e Rivendicazioni
Gli autori inquadrano questo lavoro come una "nuova direzione di indagine" nello studio della stabilità diofantica. Mentre la letteratura precedente si concentrava sul variare l'estensione di campi per una curva fissa, questo saggio fissa l'estensione e varia la curva. Il significato risiede in:

• Stabilità Quantitativa: Andare oltre le dimostrazioni di esistenza per stabilire che la stabilità diofantica non è un fenomeno raro ma avviene con densità positiva in specifiche estensioni galoisiane.
• Limiti Espliciti: Fornire un limite inferiore effettivo e computabile per questa densità, che dipende dagli invarianti locali dell'estensione $L$.
• Sintesi Metodologica: Integrare con successo i criteri coomologici per la stabilità del rango (Proposizione 2.7) con l'apparato statistico di Bhargava e Shankar per contare le curve che soddisfano tali criteri.

Il saggio nota che il caso $p=2$ è omesso poiché i loro metodi non sono applicabili, e che la condizione riguardante l'esistenza di curve con $p$-torsione banale su $\mathbb{F}_\ell$ (Condizione 2) è verificata computazionalmente per grandi primi e teoricamente per casi specifici, garantendo che la densità sia strettamente positiva.