A positive density of elliptic curves are diophantine stable in certain Galois extensions

技術要約：特定のガロア拡大における楕円曲線の正の密度はディオファントス安定である

問題設定
本論文は、楕弦曲線の「ディオファントス安定性（diophantine stability）」の問題を扱う。MazurとRubin [MR18] による定義に従えば、$\mathbb{Q}$ 上で定義された楕円曲線 $E$ が数体拡大 $L/\mathbb{Q}$ においてディオファントス安定であるとは、自然な包含写像が $E(L) = E(\mathbb{Q})$ という等式を誘導することを指す。[MR18] 等の先行研究では、固定された 楕円曲線に対して、その曲線がディオファントス安定となる巡回拡大が無限に存在することが示されているが、本論文はこの視点を逆転させている。著者らは、特定の巡回 $p$ 拡大 $L/\mathbb{Q}$ （ここで $p \in \{3, 5\}$）を固定し、高さによって順序付けられた楕円曲線 $E/\mathbb{Q}$ のうち、この固定された拡大においてディオファントス安定であるものの密度を調査している。具体的には、$E(L) = E(\mathbb{Q}) = 0$ となるような曲線の正の密度が存在することを証明することを目的としている。

手法
著者らは、ガロア・コホモロジー、算術統計学、および篩（ふるい）理論の組み合わせを用いている。手法は以下の3つの主要な段階で進行する：

1. セルマー群のコホモロジー的安定性：
   著者らは、$\mathbb{Q}$ から $L$ への基底変更に伴って $p$-セルマー群が自明に保たれる条件を確立している。Česnavičus [Č17] および Brau [Bra14] による議論に基づき、セルマー群 $S_p(E/\mathbb{Q}) \to S_p(E/L)^G$ の間の制限写像を分析している。彼らは、$S_p(E/\mathbb{Q}) = 0$ であり、かつ $p$ を割り切る素元および $L$ で分岐する素元に関する特定の局所条件が満たされるならば、$S_p(E/L) = 0$ となることを証明している。これは、ランク $\text{rank}(E(L))$ が 0 であり、$p$-ねじれ部分群が自明であることを意味する。

2. 算術統計および密度の定式化：
   曲線を数え上げるために、著者らは Bhargava と Shankar [BS15a, BS15b, BS13] の枠組みを利用している。これは、幾何学的数論を用いて $p$-セルマー群の平均的な大きさを関連付けるものである。彼らは、局所的な合同条件（ワイエルシュトラス方程式の係数 $A$ および $B$ に関する合同条件）によって定義される「大きな族」の楕円曲線 $F$ を定義する。

• 著者らは、Serre の開像定理および例外的な素元に関する Duke の結果 [Duk97] に依拠して、密度 1 の集合において $E(L)_{\text{tors}} = 0$ となることを示すことで、ねじれ部分群を制御している。
• また、ルート数 $\omega(E)$ が正確に 50% の曲線に対して $+1$ となるような族を構成することで、ランクを制御している。これにより、Bhargava-Shankar から導かれた定理 3.11 により、この族において正の割合の曲線が $S_p(E/\mathbb{Q}) = 0$ を持つことが保証される。

3. 篩理論的議論：
   著者らは、$L$ で分岐する素元の集合（$\mathcal{Z}$）および 2 と $p$ における素元に関する局所条件を満たす、特定の楕円曲線の族 $\mathcal{E}$ を定義する。これらの条件は以下を保証する：

• $p$ およびすべての $\ell \in \mathcal{Z}$ における良減少。
• 曲線 $E$ およびその二次ねじれ $E^{-1}$ の両方について、剰余体 $\mathbb{F}_\ell$ （$\ell \in \mathcal{Z}$）上での $p$-ねじれが自明であること。
• ルート数を制御するための 2 における特定の種類（加法的減少）。
  Lemma 4.6 および Remark 4.7 で Sagemath コードを用いて検証された明示的な計算を用い、分岐する素元における局所条件が十分大きな素元（具体的には $p=5$ の場合は $\ell \ge 5779$、$p=3$ の場合は $\ell \ge 233$）に対して充足可能であることを示している。その後、篩の議論（Proposition 4.8）を適用し、これらの局所条件の共通部分が、計算可能な正の下限密度を持つ族を与えることを示す。

主要な貢献と結果
主要な結果は 定理 3.8 である：
$p \in \{3, 5\}$ とし、$L/\mathbb{Q}$ を $\text{Gal}(L/\mathbb{Q}) \simeq \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ であるガロア拡大とする。$\mathcal{Z}$ を $L$ で分岐する素元の集合とする。もし：

1. $p \notin \mathcal{Z}$ であり、2 が $L$ において完全分解する。
2. すべての $\ell \in \mathcal{Z}$ に対して、曲線とその $-1$による二次ねじれの両方が自明な$p$-ねじれを持つ$\mathbb{F}_\ell$ 上の楕円曲線が存在する。

ならば、 $E(L) = E(\mathbb{Q}) = 0$ となるような楕円曲線 $E/\mathbb{Q}$ の正の密度が存在する。

論文は、この密度の明示的な下限を、次の積として与えている：
$$\eta_p \prod_{\ell} \delta_\ell$$
ここで $\eta_p$ は $p=3$ のとき $1/4$、$p=5$ のとき $3/8$ であり、$\delta_\ell$ は減少型と分岐に依存する局所因子である。例えば、$p=3$ かつ $L$ が $\mathbb{Q}(\mu_{31})$ の 3 次部分体である場合、著者らは $\mathbb{F}_{31}$ 上の有効な曲線のカウントから導かれた項 $585/961$ を含む具体的な下限値を計算している。

意義と主張
著者らは、本研究をディオファントス安定性の研究における「新しい方向性の探求」として位置づけている。従来の文献は、固定された曲線に対して拡大体を変化させることに焦点を当てていたが、本論文は拡大体を固定して曲線を変化させている。本研究の意義は以下の点にある：

• 定量的安定性： 存在証明を超えて、ディオファントス安定性が特定のガロア拡大において稀な現象ではなく、正の密度で発生することを確立した。
• 明示的な境界： この密度の、局所不変量 $L$ に依存する計算可能な明示的な下限を提供した。
• 手法の統合： ランク安定性のためのコホモロジー的基準（Proposition 2.7）と、曲線を数え上げるための Bhargava および Shankar の統計的メカニズムを、成功裏に統合した。

著者らは、$p=2$ の場合は彼らの手法が適用できないため除外されていること、および（条件 2）における $\mathbb{F}_\ell$ 上の自明な $p$-ねじれを持つ曲線の存在に関する条件が、大きな素元に対して計算量的に、また特定のケースに対して理論的に検証されており、密度が厳密に正であることを保証していることを述べている。