A positive density of elliptic curves are diophantine stable in certain Galois extensions

技术摘要：在特定伽罗瓦扩张中，具有正密度的椭圆曲线是丢番图稳定的

问题陈述
本文探讨了椭圆曲线的“丢番图稳定性”（diophantine stability）问题。根据 Mazur 和 Rubin [MR18] 的定义，定义在 $\mathbb{Q}$ 上的椭圆曲线 $E$ 在数域扩张 $L/\mathbb{Q}$ 中是丢番图稳定的，是指自然包含映射诱导了等式 $E(L) = E(\mathbb{Q})$。虽然之前的研究（例如 [MR18]）已经证明，对于一个固定的椭圆曲线，存在无穷多个循环扩张使得该曲线是丢番图稳定的，但本文反转了这一视角。作者固定了一个特定的循环 $p$-扩张 $L/\mathbb{Q}$（其中 $p \in \{3, 5\}$），并研究按高度排序的椭圆曲线 $E/\mathbb{Q}$ 在该固定扩张中是丢番图稳定的密度。具体而言，他们试图证明存在具有正密度的曲线，满足 $E(L) = E(\mathbb{Q}) = 0$。

方法论
作者结合了伽罗瓦上同调、算术统计和筛法。其方法论分为三个主要阶段：

1. Selmer 群的上同调稳定性：
   作者确立了在从 $\mathbb{Q}$ 到 $L$ 的基变换下，$p$-Selmer 群保持平凡的条件。基于 Česnavičius [Č17] 和 Brau [Bra14] 的论证，他们分析了 Selmer 群之间的限制映射 $S_p(E/\mathbb{Q}) \to S_p(E/L)^G$。他们证明，如果 $S_p(E/\mathbb{Q}) = 0$ 且在除 $p$ 的素数及 $L$ 中分歧的素数处满足特定的局部条件，那么 $S_p(E/L) = 0$。这意味着 $E(L)$ 的秩为 0 且 $p$-挠为平凡。

2. 算术统计与密度公式化：
   为了计数这些曲线，作者利用了 Bhargava 和 Shankar [BS15a, BS15b, BS13] 的框架，该框架将 $p$-Selmer 群的平均大小与几何数论联系起来。他们定义了一个由局部同余条件（关于 Weierstrass 方程系数 $A$ 和 $B$ 的同余条件）定义的“大族”椭圆曲线 $F$。

   • 他们通过证明对于密度为 1 的曲线集有 $E(L)_{\text{tors}} = 0$，来控制挠子群；这依赖于 Serre 的开放图像定理和 Duke 关于异常素数的结论 [Duk97]。
   • 他们通过构造一个根数 $\omega(E)$ 对恰好 50% 的曲线为 $+1$ 的族来控制秩。通过定理 3.11（源自 Bhargava-Shankar），这确保了该族中具有正比例的曲线满足 $S_p(E/\mathbb{Q}) = 0$。

3. 筛法论证：
   作者定义了一个特定的椭圆曲线族 $\mathcal{E}$，该族满足在 $L$ 的分歧素数（记作 $\mathcal{Z}$）以及素数 2 和 $p$ 处的局部条件。这些条件确保：

   • 在 $p$ 和所有 $\ell \in \mathcal{Z}$ 处具有良还原（good reduction）。
   • 对于 $\ell \in \mathcal{Z}$ 中的曲线及其二次扭转 $E^{-1}$，在剩余域 $\mathbb{F}_\ell$ 上具有平凡的 $p$-挠。
   • 在 2 处的特定还原类型（加法还原），用以控制根数。
     通过引理 4.6 以及通过 Sagemath 代码验证的显式计算（见注记 4.7），他们证明了对于足够大的素数（具体而言，当 $p=5$ 时 $\ell \ge 5779$，当 $p=3$ 时 $\ell \ge 233$），这些局部条件是可满足的。随后，他们应用筛法论证（命题 4.8）表明，这些局部条件的交集产生了一个具有可计算的正下界密度的族。

主要贡献与结果
其主要结果是定理 3.8，该定理指出：
设 $p \in \{3, 5\}$，且 $L/\mathbb{Q}$ 是一个伽罗瓦扩张，满足 $\text{Gal}(L/\mathbb{Q}) \simeq \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$。令 $\mathcal{Z}$ 为 $L$ 中分歧的素数集。如果：

1. $p \notin \mathcal{Z}$ 且 2 在 $L$ 中完全分裂；
2. 对于所有 $\ell \in \mathcal{Z}$，存在一个在 $\mathbb{F}_\ell$ 上的椭圆曲线，使其本身及其由 $-1$进行的二次扭转均具有平凡的$p$-挠；

那么存在正密度的椭圆曲线 $E/\mathbb{Q}$ 使得 $E(L) = E(\mathbb{Q}) = 0$。

论文提供了一个关于该密度的显式下界，由下式给出：
$$\eta_p \prod_{\ell} \delta_\ell$$
其中 $\eta_p$ 在 $p=3$ 时为 $1/4$，在 $p=5$ 时为 $3/8$，而 $\delta_\ell$ 是取决于还原类型和分歧情况的局部因子。例如，在 $p=3$ 且 $L$ 是 $\mathbb{Q}(\mu_{31})$ 的三次子域的情况下，作者计算出的特定下界包含由来自 $\mathbb{F}_{31}$ 有效曲线计数的项 $585/961$。

意义与主张
作者将这项工作定位为研究丢番图稳定性中的一个“新研究方向”。以往的文献侧重于为固定的曲线改变域扩张，而本文则是固定扩张并改变曲线。其意义在于：

• 定量稳定性： 超越了存在性证明，建立了在特定伽罗瓦扩张中，丢番图稳定性并非罕见现象，而是以正密度发生。
• 显式界限： 提供了一个有效的、可计算的该密度下界，该界限取决于扩张的局部不变量。
• 方法论综合： 成功地将用于秩稳定性的上同调准则（命题 2.7）与 Bhargava 和 Shankar 的统计机制相结合，以计数满足这些准则的曲线。

论文指出，$p=2$ 的情况因其方法不适用而被省略，并且关于存在具有平凡 $p$-挠的曲线在 $\mathbb{F}_\ell$ 上的条件（条件 2）已通过计算（针对大素数）和理论（针对特定情况）得到了验证，从而确保了密度严格大于零。