Mass and angular momentum for the Kerr black hole in TEGR and STEGR

Sintesi Tecnica: Massa e Momento Angolare per il Buco Nero di Kerr in TEGR e STEGR

Enunciato del Problema
Il documento affronta la sfida di costruire quantità conservate (specificamente massa e momento angolare) covarianti e invarianti rispetto alle trasformazioni di Lorentz per la soluzione del buco nero di Kerr all'interno dei quadri della Teoria della Gravità Equivalente Teleparallela (TEGR) e della Teoria della Gravità Simmetrica Equivalente Teleparallela (STEGR). Sebbene queste teorie siano dinamicamente equivalenti alla Relatività Generale (GR), esse utilizzano connessioni non dinamiche (connessioni di spin inerziale in TEGR e connessioni teleparallele simmetriche in STEGR) che non sono determinate dalle equazioni di campo stesse. Esiste una lacuna significativa nella letteratura riguardante l'applicazione di formalismi pienamente covarianti alla soluzione di Kerr; i lavori precedenti spesso si sono basati su formulazioni non covarianti o non sono riusciti a soddisfare simultaneamente i requisiti di covarianza delle coordinate, invarianza di Lorentz locale e cariche globali ben definite. Inoltre, i tentativi di verificare il principio di equivalenza di Einstein (dove la corrente di energia-impulso svanisce per un osservatore in caduta libera) in questi quadri teleparalleli per buchi neri rotanti avevano prodotto risultati inconcludenti o insoddisfacenti.

Metodologia
Gli autori applicano un formalismo recentemente sviluppato basato sul teorema di Noether, utilizzando espressioni per correnti conservate, superpotenziali e cariche che siano covarianti rispetto allo spaziotempo e invarianti rispetto a Lorentz. La metodologia prevede diverse fasi chiave:

1. Applicazione del Formalismo: Gli autori impiegano la procedura di Noether con un vettore di spostamento arbitrario $\xi$. Scegliendo $\xi$ come vettore di Killing temporale, calcolano l'energia totale (massa); scegliendo un vettore di Killing spaziale rotante, calcolano il momento angolare.
2. Definizione delle Connessioni tramite lo "Spegnimento" della Gravità: Poiché le connessioni teleparallele (Connessione di Spin Inerziale, ISC, in TEGR; Connessione Teleparallela Simmetrica, STC, in STEGR) sono strutture esterne, gli autori utilizzano il principio di "spegnimento" della gravità. Questo comporta:
   • Selezione di un tetrad specifico (per TEGR) o di un sistema di coordinate (per STEGR).
   • Calcolo della relativa connessione di Levi-Civita (o curvatura).
   • Risoluzione per i parametri della soluzione (massa $M$ e parametro di spin $a$) in modo che la curvatura sia nulla (rappresentando l'assenza di gravità).
   • Utilizzo di questi valori di parametro per definire la connessione teleparallela piatta per la soluzione completa.
3. Analisi del Gauge: Gli autori investigano il concetto di "gauge" (calibro), definiti come classi di equivalenza di coppie (tetrad/connessione o coordinate/connessione). Testano due metodi distinti di "spegnimento" della gravità:
   • Limite $M \to 0$ (mantenendo la rotazione $a$).
   • Limite $M \to 0$ e $a \to 0$ (riduzione al limite di Schwarzschild).
     Applichano questi metodi a diversi tetrad in TEGR e a diversi sistemi di coordinate in STEGR per determinare se specifici gauge producano risultati fisicamente significativi.
4. Test del Principio di Equivalenza: Gli autori testano il principio di equivalenza calcolando la corrente di Noether per un osservatore in caduta libera (utilizzando vettori propri) sia in coordinate di Boyer-Lindquist che in coordinate di Doran. È richiesto che la corrente sia nulla per soddisfare il principio.

Contributi Chiave e Risultati

• Quantità Conservate in TEGR:

  • Gli autori hanno identificato quattro gauge distinti (combinazioni di tetrad e ISC).
  • Due gauge (Gauge I e I*) hanno fornito la corretta massa del buco nero ($M$) ma non sono riusciti a riprodurre il corretto momento angolare, risultando in $aM/3$.
  • Altri due gauge (Gauge II e II*), che utilizzano una struttura di tetrad più complessa, hanno ottenuto con successo sia la corretta massa ($M$) che il corretto momento angolare ($aM$).
  • Ciò dimostra che la scelta del gauge è critica in TEGR per recuperare il corretto momento angolare del buco nero di Kerr.

• Quantità Conservate in STEGR:

  • Sono stati costruiti due diversi gauge (Gauge SI e SI*) utilizzando diversi metodi di spegnimento della gravità.
  • Entrambi i gauge hanno fornito con successo la corretta massa ($M$) e il momento angolare ($aM$).
  • Gli autori osservano che il superpotenziale totale in STEGR consiste nel superpotenziale di Komar (che da solo fornisce metà della massa, noto come "anomalia di Komar") e in un termine di divergenza. Nel loro calcolo, il termine di divergenza contribuisce con una quantità uguale al termine di Komar, correggendo la massa al valore atteso $M$.

• Analisi del Principio di Equivalenza:

  • Gli autori hanno tentato di trovare un gauge in cui la corrente di Noether svanisca per un osservatore in caduta libera nella soluzione di Kerr.
  • Utilizzando sia le coordinate di Boyer-Lindquist che quelle di Doran (queste ultime scelte perché il tempo proprio di un osservatore in caduta libera coincide con il tempo delle coordinate), le correnti calcolate sono risultate non nulle sia in TEGR che in STEGR.
  • Le componenti non nulle della corrente sono state trovate essere proporzionali al parametro di spin $a$.
  • Limite di Schwarzschild: Quando si compie il limite $a \to 0$, la corrente svanisce in entrambe le teorie, recuperando il principio di equivalenza per la soluzione di Schwarzschild non rotante.
  • Novità in STEGR: Sebbene gli autori in precedenza non fossero riusciti a trovare un gauge ben definito per la soluzione di Schwarzschild in STEGR utilizzando le coordinate di Lemaitre, lo studio attuale ha identificato con successo un gauge ben definito (Gauge SII**) derivato dal limite della soluzione di Kerr che soddisfa il principio di equivalenza per il caso di Schwarzschild.

Significatività e Rivendicazioni
L'articolo sostiene di aver risolto con successo il calcolo di massa e momento angolare per il buco nero di Kerr in entrambi TEGR e STEGR utilizzando un formalismo pienamente covariante e invariante. La significatività primaria risiede nel dimostrare che, sebbene le equazioni di campo di queste teorie siano equivalenti alla GR, la costruzione delle quantità conservate richiede una selezione attenta dei "gauge" (specificamente le connessioni non dinamiche). Gli autori evidenziano che:

1. Il corretto momento angolare in TEGR non è garantito da tutti i validi gauge; sono necessarie combinazioni specifiche di tetrad/connessione.
2. La STEGR risolve naturalmente l' "anomalia di Komar" per la massa attraverso l'inclusione del termine di divergenza nel superpotenziale.
3. Il mancato soddisfacimento del principio di equivalenza per la soluzione di Kerr (corrente non nulla per la caduta libera) è attribuito alla presenza del momento angolare ($a$), poiché il principio viene ripristinato quando $a \to 0$.
4. Un nuovo gauge ben definito per la soluzione di Schwarzschild in STEGR è stato scoperto come sottoprodotto dell'analisi di Kerr, cosa che precedentemente era sfuggita agli autori.

Gli autori dichiarano esplicitamente che i loro tentativi di trovare un gauge corrispondente al principio di equivalenza per la soluzione di Kerr rotante non hanno avuto successo in entrambe le teorie, suggerendo che il parametro di rotazione introduca complessità che impediscono alla corrente di svanire per gli osservatori in caduta libera in queste specifiche formulazioni teleparallele.