Mass and angular momentum for the Kerr black hole in TEGR and STEGR

Resumo Técnico: Massa e Momento Angular para o Buraco Negro de Kerr em TEGR e STEGR

Enunciado do Problema
O artigo aborda o desafio de construir quantidades conservadas covariantes e Lorentz-invariantes (especificamente massa e momento angular) para a solução do buraco negro de Kerr dentro das estruturas da Teoria da Relatividade Equivalente de Teleparalelismo (TEGR) e da Teoria da Relatividade Equivalente de Teleparalelismo Simétrico (STEGR). Embora estas teorias sejam dinamicamente equivalentes à Relatividade Geral (RG), elas utilizam conexões não-dinâmicas (conexão de spin inercial em TEGR e conexão teleparalela simétrica em STEGR) que não são determinadas pelas equações de campo em si. Existe uma lacuna significativa na literatura quanto à aplicação de formalismos totalmente covariantes à solução de Kerr; trabalhos anteriores frequentemente basearam-se em formulações não-covariantes ou falharam em satisfazer simultaneamente os requisitos de covariância de coordenadas, invariância de Lorentz local e cargas globais bem definidas. Além disso, tentativas de verificar o princípio da equivalência de Einstein (onde o fluxo de energia-momento desaparece para um observador em queda livre) nestes arcabouços teleparalelos para buracos negros rotativos haviam gerado resultados inconclusivos ou malsucedidos.

Metodologia
Os autores aplicam um formalismo recentemente desenvolvido baseado no teorema de Noether, utilizando expressões de correntes, superpotenciais e cargas espaço-temporais covariantes e Lorentz-invariantes. A metodologia envolve várias etapas principais:

1. Aplicação do Formalismo: Os autores empregam o procedimento de Noether com um vetor de deslocamento arbitrário $\xi$. Ao escolher $\xi$ como um vetor de Killing temporal, eles calculam a energia total (massa); ao escolher um vetor de Killing espacial rotativo, eles calculam o momento angular.
2. Definição de Conexões via "Desligamento" da Gravidade: Uma vez que as conexões teleparalelas (Conexão de Spin Inercial, ISC, em TEGR; Conexão Teleparalela Simétrica, STC, em STEGR) são estruturas externas, os autores utilizam o princípio de "desligar" a gravidade. Isso envolve:
   • Selecionar um tetrade específico (para TEGR) ou um sistema de coordenadas (para STEGR).
   • Calcular a associação de conexão de Levi-Civita (ou curvatura).
   • Resolver para os parâmetros da solução (massa $M$ e parâmetro de spin $a$) de modo que a curvatura seja nula (representando "ausência de gravidade").
   • Utilizar esses valores de parâmetros para definir a conexão teleparalela plana para a solução completa.
3. Análise de Gauge: Os autores investigam o conceito de "gauges" (calibrações), definidas como classes de equivalência de pares (tetrade/conexão ou coordenadas/conexão). Eles testam dois métodos distintos de "desligar" a gravidade:
   • Limite $M \to 0$ (mantendo a rotação $a$).
   • Limite $M \to 0$ e $a \to 0$ (reduzindo ao limite de Schwarzschild).
     Eles aplicam estes métodos a diferentes tetrades em TEGR e diferentes sistemas de coordenadas em STEGR para determinar se gauges específicos produzem resultados fisicamente significativos.
4. Teste do Princípio da Equivalência: Os autores testam o princípio da equivalência calculando a corrente de Noether para um observador em queda livre (usando vetores próprios) tanto em coordenadas de Boyer-Lindquist quanto em coordenadas de Doran. Um fluxo nulo é necessário para satisfazer o princípio.

Principais Contribuições e Resultados

• Quantidades Conservadas em TEGR:

  • Os autores identificaram quatro gauges distintos (combinações de tetrades e ISCs).
  • Dois gauges (Gauge I e I*) produziram a massa correta do buraco negro ($M$), mas falharam em reproduzir o momento angular correto, resultando em $aM/3$.
  • Outros dois gauges (Gauge II e II*), utilizando uma estrutura de tetrade mais complexa, obtiveram com sucesso tanto a massa correta ($M$) quanto o momento angular correto ($aM$).
  • Isto demonstra que a escolha do gauge é crítica em TEGR para recuperar o momento angular correto do buraco negro de Kerr.

• Quantidades Conservadas em STEGR:

  • Dois gauges diferentes (Gauge SI e SI*) foram construídos utilizando diferentes métodos de desligar a gravidade.
  • Ambos os gauges produziram com sucesso tanto a massa correta ($M$) quanto o momento angular ($aM$).
  • Os autores observam que o superpotencial total em STEGR consiste no superpotencial de Komar (que sozinho fornece metade da massa, conhecido como "anomalia de Komar") e um termo de divergência. Em seu cálculo, o termo de divergência contribui com uma quantidade igual ao termo de Komar, corrigindo a massa para o valor esperado $M$.

• Análise do Princípio da Equivalência:

  • Os autores tentaram encontrar um gauge onde a corrente de Noether desaparece para um observador em queda livre na solução de Kerr.
  • Utilizando tanto coordenadas de Boyer-Lindquist quanto de Doran (estas últimas escolhidas porque o tempo próprio de um observador em queda livre coincide com o tempo de coordenada), as correntes calculadas foram não-nulas em ambos TEGR e STEGR.
  • Os componentes de corrente não-nulos foram encontrados como proporcionais ao parâmetro de spin $a$.
  • Limite de Schwarzschild: Ao tomar o limite $a \to 0$, a corrente desaparece em ambas as teorias, recuperando o princípio da equivalência para a solução de Schwarzschild não-rotativa.
  • Novidade em STEGR: Embora os autores tenham anteriormente falhado em encontrar um gauge bem definido para a solução de Schwarzschild em STEGR usando coordenadas de Lemaitre, este estudo identificou com sucesso um gauge bem definido (Gauge SII**) derivado do limite de Kerr que satisfaz o princípio da equivalência para o caso de Schwarzschild.

Significância e Alegações
O artigo afirma ter resolvido com sucesso o cálculo de massa e momento angular para o buraco negro de Kerr em ambas as soluções TEGR e STEGR utilizando um formalismo totalmente covariante e invariante. A principal significância reside em demonstrar que, embora as equações de campo destas teorias sejam equivalentes à RG, a construção de quantidades conservadas requer uma seleção cuidadosa de "gauges" (especificamente as conexões não-dinâmicas). Os autores destacam que:

1. O momento angular correto em TEGR não é garantido por todos os gauges válidos; combinações específicas de tetrade/conexão são necessárias.
2. A STEGR resolve naturalmente a "anomalia de Komar" para a massa através da inclusão do termo de divergência no superpotencial.
3. A falha em satisfazer o princípio da equivalência para a solução de Kerr (fluxo não-nulo para queda livre) é atribuída à presença do momento angular ($a$), sendo que o princípio é restaurado quando $a \to 0$.
4. Um novo gauge bem definido para a solução de Schwarzschild em STEGR foi descoberto como um subproduto da análise de Kerr, o qual havia anteriormente escapado aos autores.

Os autores declaram explicitamente que suas tentativas de encontrar um gauge correspondente ao princípio da equivalência para a solução de Kerr rotativa foram malsucedidas em ambas as teorias, sugerindo que o parâmetro de rotação introduz complexidades que impedem que a corrente desapareça para observadores em queda livre nestas formulações teleparalelas específicas.