Mass and angular momentum for the Kerr black hole in TEGR and STEGR

Technische Samenvatting: Massa en impulsmoment voor het Kerr-zwart gat in TEGR en STEGR

Probleemstelling
Het artikel behandelt de uitdaging van het construeren van covariante en Lorentz-invariante geconserveerde grootheden (specifiek massa en impulsmoment) voor het Kerr-zwart gat binnen de kaders van de Teleparallel Equivalent of General Relativity (TEGR) en de Symmetric Teleparallel Equivalent of General Relativity (STEGR). Hoewel deze theorieën dynamisch equivalent zijn aan de Algemene Relativiteitstheorie (GR), maken zij gebruik van niet-dynamische verbindingen (inertiele spinverbindingen in TEGR en symmetrische teleparallel verbindingen in STEGR) die niet door de veldvergelijkingen zelf worden bepaald. Er bestaat een aanzienlijke kloof in de literatuur met betrekking tot de toepassing van volledig covariante formalismen op de Kerr-oplossing; eerdere werken vertrouwden vaak op niet-covariante formuleringen of faalden om gelijktijdig te voldoen aan de eisen van coördinatencovariantie, lokale Lorentz-invariantie en goed gedefinieerde globale ladingen. Bovendien hadden pogingen om het Einstein-equivalentieprincipe (waarbij de energie-impulsstroom verdwijnt voor een vrij vallende waarnemer) te verifiëren in deze teleparallelistische kaders voor roterende zwarte gaten, tot inconclusieve of onsuccesvolle resultaten geleid.

Methodologie
De auteurs passen een recent ontwikkeld formalisme toe gebaseerd op de stelling van Noether, waarbij gebruik wordt gemaakt van ruimtetijd-covariante en Lorentz-invariante expressies voor geconserveerde stromen, superpotentialen en ladingen. De methodologie omvat verschillende cruciale stappen:

1. Toepassing van het Formalisme: De auteurs passen de Noether-procedure toe met een willekeurige verplaatsingsvector $\xi$. Door $\xi$ te kiezen als een tijdachtige Killing-vector, berekenen zij de totale energie (massa); door een roterende ruimtelijke Killing-vector te kiezen, berekenen zij het impulsmoment.
2. Definiëren van Verbindingen via het "Uitschakelen" van Zwaartekracht: Omdat de teleparallelistische verbindingen (Inertial Spin Connection, ISC, in TEGR; Symmetric Teleparallel Connection, STC, in STEGR) externe structuren zijn, maken de auteurs gebruik van het principe van het "uitschakelen" van zwaartekracht. Dit houdt in:
   • Het selecteren van een specifieke tetrad (voor TEGR) of coördinatensysteem (voor STEGR).
   • Het berekenen van de bijbehorende Levi-Civita-verbinding (of kromming).
   • Het oplossen voor de parameters van de oplossing (massa $M$ en spinparameter $a$) zodat de kromming verdwijnt (wat "geen zwaartekracht" vertegenwoordigt).
   • Het gebruiken van deze parameterwaarden om de vlakke teleparallelistische verbinding voor de volledige oplossing te definiëren.
3. Gauge-analyse: De auteurs onderzoeken het concept van "gauges" (keuzes), gedefinieerd als equivalentieklassen van paren (tetrad/verbinding of coördinaten/verbinding). Zij testen twee verschillende methoden voor het "uitschakelen" van zwaartekracht:
   • Limiet $M \to 0$ (waarbij rotatie $a$ behouden blijft).
   • Limiet $M \to 0$ en $a \to 0$ (reductie naar de Schwarzschild-limiet).
     Zij passen deze methoden toe op verschillende tetraden in TEGR en verschillende coördinatensystemen in STEGR om te bepalen of specifieke gauges fysiek zinvolle resultaten opleveren.
4. Test van het Equivalentieprincipe: De auteurs testen het equivalentieprincipe door de Noether-stroom te berekenen voor een vrij vallende waarnemer (met behulp van passende vectoren) in zowel Boyer-Lindquist als Doran-coördinaten. Een verdwijnende stroom is vereist om aan het principe te voldoen.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

• Geconserveerde Grootheden in TEGR:

  • De auteurs identificeerden vier verschillende gauges (combinaties van tetraden en ISCs).
  • Twee gauges (Gauge I en I*) leverden de correcte zwart gat massa ($M$) op, maar faalden in het reproduceren van het correcte impulsmoment, wat resulteerde in $aM/3$.
  • Twee andere gauges (Gauge II en II*), die gebruikmaken van een complexere tetradstructuur, leverden succesvol zowel de correcte massa ($M$) als het correcte impulsmoment ($aM$) op.
  • Dit toont aan dat de keuze van de gauge cruciaal is in TEGR voor het terugwinnen van het correcte impulsmoment van het Kerr-zwart gat.

• Geconserveerde Grootheden in STEGR:

  • Twee verschillende gauges (Gauge SI en SI*) werden geconstrueerd met behulp van verschillende methoden voor het uitschakelen van zwaartekracht.
  • Beide gauges leverden succesvol de correcte massa ($M$) en het correcte impulsmoment ($aM$) op.
  • De auteurs merken op dat de totale superpotentiaal in STEGR bestaat uit de Komar-superpotentiaal (die alleen de helft van de massa geeft, bekend als de "Komar-anomalie") en een divergentieterm. In hun berekening draagt de divergentieterm een even groot bedrag bij als de Komar-term, waardoor de massa wordt gecorrigeerd naar de verwachte waarde $M$.

• Analyse van het Equivalentieprincipe:

  • De auteurs probeerden een gauge te vinden waar de Noether-stroom verdwijnt voor een vrij vallende waarnemer in de Kerr-oplossing.
  • Bij gebruik van zowel Boyer-Lindquist als Doran-coördinaten (waarbij de laatste is gekozen omdat de eigen tijd van een vrij vallende waarnemer samenvalt met de coördinatentijd), bleken de berekende stromen niet-nul in zowel TEGR als STEGR.
  • De niet-nul stroomcomponenten bleken proportioneel te zijn aan de spinparameter $a$.
  • Schwarzschild-limiet: Wanneer de limiet $a \to 0$ wordt genomen, verdwijnt de stroom in beide theorieën, waarmee het equivalentieprincipe voor de niet-roterende Schwarzschild-oplossing wordt hersteld.
  • Nieuwigheid in STEGR: Hoewel de auteurs eerder faalden in het vinden van een goed gedefinieerde gauge voor de Schwarzschild-oplossing in STEGR met behulp van Lemaitre-coördinaten, identificeerde dit onderzoek succesvol een goed gedefinieerde gauge (Gauge SII**) afgeleid van de Kerr-limiet die aan het equivalentieprincipe voldoet voor de Schwarzschild-casus.

Betekenis en Claims
Het artikel claimt succesvol de berekening van massa en impulsmoment voor het Kerr-zwart gat in zowel TEGR als STEGR te hebben opgelost met behulp van een volledig covariant en invariant formalisme. De primaire betekenis ligt in het aantonen dat, hoewel de veldvergelijkingen van deze theorieën equivalent zijn aan GR, de constructie van geconserveerde grootheden een zorgvuldige selectie van "gauges" (specifiek de niet-dynamische verbindingen) vereist. De auteurs benadrukken dat:

1. Het correcte impulsmoment in TEGR niet gegarandeerd wordt door alle geldige gauges; specifieke tetrad/verbinding-combinaties zijn vereist.
2. STEGR de "Komar-anomalie" voor massa natuurlijk oplost door de inclusie van de divergentieterm in de superpotentiaal.
3. Het falen om het equivalentieprincipe te voldoen voor de roterende Kerr-oplossing (niet-verdwijnende stroom voor vrije val) wordt toegeschreven aan de aanwezigheid van impulsmoment ($a$), aangezien het principe wordt hersteld wanneer $a \to 0$.
4. Een nieuwe, goed gedefinieerde gauge voor de Schwarzschild-oplossing in STEGR is ontdekt als een bijproduct van de Kerr-analyse, die eerder aan de auteurs was ontsnapt.

De auteurs verklaren expliciet dat hun pogingen om een gauge te vinden die overeenkomt met het equivalentieprincipe voor de roterende Kerr-oplossing onsuccesvol waren in beide theorieën, wat suggereert dat de rotatieparameter complexiteiten introduceert die voorkomen dat de stroom verdwijnt voor vrij vallende waarnemers in deze specifieke teleparallelistische formuleringen.