Mass and angular momentum for the Kerr black hole in TEGR and STEGR

Résumé technique : Masse et moment cinétique pour le trou noir de Kerr en TEGR et STEGR

Énoncé du problème
L'article traite du défi consistant à construire des quantités conservées covariantes et invariantes de Lorentz (spécifiquement la masse et le moment cinétique) pour la solution du trou noir de Kerr dans les cadres de la théorie de l'équivalence de la relativité générale téléparallèle (TEGR) et de la théorie de l'équivalence de la relativité générale symétrique (STEGR). Bien que ces théories soient dynamiquement équivalentes à la relativité générale (RG), elles utilisent des connexions non dynamiques (connexions de spin inertielles en TEGR et connexions téléparallèles symétriques en STEGR) qui ne sont pas déterminées par les équations du champ elles-mêmes. Un manque important dans la littérature existe concernant l'application de formalismes pleinement covariants à la solution de Kerr ; les travaux précédents reposaient souvent sur des formulations non covariantes ou échouaient à satisfaire simultanément les exigences de covariance de coordonnées, d'invariance de Lorentz locale et de charges bien définies. De plus, les tentatives de vérification du principe d'équivalence d'Einstein (où le courant de quantité de mouvement-énergie s'annule pour un observateur en chute libre) dans ces cadres téléparallèles pour les trous noirs en rotation avaient donné des résultats peu concluants ou infructueux.

Méthodologie
Les auteurs appliquent un formalisme récemment développé basé sur le théorème de Noether, utilisant des expressions covariantes par rapport à l'espace-temps et invariantes de Lorentz pour les courants conservés, les superpotentiels et les charges. La méthodologie implique plusieurs étapes clés :

1. Application du formalisme : Les auteurs emploient la procédure de Noether avec un vecteur de déplacement arbitraire $\xi$. En choisissant $\xi$ comme un vecteur de Killing de type temps, ils calculent l'énergie totale (masse) ; en choisissant un vecteur de Killing de type espace tournant, ils calculent le moment cinétique.
2. Définition des connexions via l'« extinction » de la gravité : Puisque les connexions téléparallèles (Connexion de Spin Inertielle, ISC, en TEGR ; Connexion Téléparallèle Symétrique, STC, en STEGR) sont des structures externes, les auteurs utilisent le principe d'« extinction » de la gravité. Cela implique de :
   • Sélectionner un tétrad spécifique (pour la TEGR) ou un système de coordonnées (pour la STEGR).
   • Calculer la connexion de Levi-Civita associée (ou la courbure).
   • Résoudre pour les paramètres de la solution (masse $M$ et paramètre de spin $a$) de telle sorte que la courbure disparaisse (représentant l'absence de gravité).
   • Utiliser ces valeurs de paramètres pour définir la connexion téléparallèle plate pour la solution complète.
3. Analyse de jauge : Les auteurs étudient le concept de « jauges », définies comme des classes d'équivalence de paires (tétrad/connexion ou coordonnées/connexion). Ils testent deux méthodes distinctes d'extinction de la gravité :
   • Limite $M \to 0$ (en conservant la rotation $a$).
   • Limite $M \to 0$ et $a \to 0$ (réduction à la limite de Schwarzschild).
     Ils appliquent ces méthodes à différents tétrades en TEGR et à différents systèmes de coordonnées en STEGR pour déterminer si des jauges spécifiques produisent des résultats physiquement significatifs.
4. Test du principe d'équivalence : Les auteurs testent le principe d'équivalence en calculant le courant de Noether pour un observateur en chute libre (en utilisant des vecteurs propres) dans les coordonnées de Boyer-Lindquist et de Doran. Un courant nul est requis pour satisfaire le principe.

Contributions clés et résultats

• Quantités conservées en TEGR :

  • Les auteurs ont identifié quatre jauges distinctes (combinaisons de tétrades et d'ISC).
  • Deux jauges (Jauge I et I*) ont produit la masse correcte du trou noir ($M$) mais ont échoué à reproduire le moment cinétique correct, résultant en $aM/3$.
  • Deux autres jauges (Jauge II et II*), utilisant une structure de tétrade plus complexe, ont réussi à produire à la fois la masse correcte ($M$) et le moment cinétique correct ($aM$).
  • Cela démontre que le choix de la jauge est critique en TEGR pour retrouver le moment cinétique correct du trou noir de Kerr.

• Quantités conservées en STEGR :

  • Deux jauges différentes (Jauge SI et SI*) ont été construites en utilisant différentes méthodes d'extinction de la gravité.
  • Les deux jauges ont produit avec succès la masse correcte ($M$) et le moment cinétique ($aM$).
  • Les auteurs notent que le superpotentiel total en STEGR se compose du superpotentiel de Komar (qui seul donne la moitié de la masse, connue sous le nom d'« anomalie de Komar ») et d'un terme de divergence. Dans leur calcul, le terme de divergence contribue d'une quantité égale au terme de Komar, corrigeant la masse vers la valeur attendue $M$.

• Analyse du principe d'équivalence :

  • Les auteurs ont tenté de trouver une jauge où le courant de Noether s'annule pour un observateur en chute libre dans la solution de Kerr.
  • En utilisant les coordonnées de Boyer-Lindquist et de Doran (ces dernières étant choisies car le temps propre d'un observateur en chute libre coïncide avec le temps de coordonnées), les courants calculés étaient non nuls dans les deux théories, TEGR et STEGR.
  • Les composantes non nulles du courant ont été trouvées proportionnelles au paramètre de spin $a$.
  • Limite de Schwarzschild : Lorsqu'on prend la limite $a \to 0$, le courant s'annule dans les deux théories, restaurant le principe d'équivalence pour la solution de Schwarzschild non rotative.
  • Nouveauté en STEGR : Bien que les auteurs aient précédemment échoué à trouver une jauge bien définie pour la solution de Schwarzschild en STEGR en utilisant les coordonnées de Lemaitre, l'étude actuelle a identifié avec succès une jauge bien définie (Jauge SII**) dérivée de la limite de la solution de Kerr qui satisfait le principe d'équivalence pour le cas de Schwarzschild.

Signification et affirmations
L'article affirme avoir résolu avec succès le calcul de la masse et du moment cinétique pour le trou noir de Kerr dans les deux théories, TEGR et STEGR, en utilisant un formalisme pleinement covariant et invariant. La principale signification réside dans la démonstration que, bien que les équations du champ de ces théories soient équivalentes à la RG, la construction des quantités conservées nécessite une sélection prudente de « jauges » (spécifiquement les connexions non dynamiques). Les auteurs soulignent que :

1. Le moment cinétique correct en TEGR n'est pas garanti par toutes les jauges valides ; des combinaisons spécifiques de tétrades/connexions sont requises.
2. La STEGR résout naturellement l'« anomalie de Komar » pour la masse grâce à l'inclusion du terme de divergence dans le superpotentiel.
3. L'échec de la satisfaction du principe d'équivalence pour la solution de Kerr (courant non nul pour la chute libre) est attribué à la présence du moment cinétique ($a$), le principe étant restauré lorsque $a \to 0$.
4. Une nouvelle jauge bien définie pour la solution de Schwarzschild en STEGR a été découverte comme un sous-produit de l'analyse de Kerr, ce qui avait précédemment échappé aux auteurs.

Les auteurs déclarent explicitement que leurs tentatives pour trouver une jauge correspondant au principe d'équivalence pour la solution de Kerr en rotation ont échoué dans les deux théories, suggérant que le paramètre de rotation introduit des complexités qui empêchent le courant de s'annuler pour les observateurs en chute libre dans ces formulations téléparallèles spécifiques.