Wild conductor exponents of curves

1. Il Problema

Il lavoro si concentra sul calcolo degli esponenti del conduttore selvaggio ($n_{C, \text{wild}}$) per curve algebriche definite su estensioni finite $K$ di $\mathbb{Q}_p$.

• Contesto: Il conduttore locale $N = (\pi^{n_C})$ è un invariante fondamentale che misura la "cattiva riduzione" di una curva. L'esponente totale $n_C$ è la somma di una parte "tame" (determinabile tramite modelli regolari) e una parte "wild" (selvaggia), $n_{C, \text{wild}}$.
• Difficoltà: Mentre la parte tame è ben compresa, il calcolo della parte selvaggia è generalmente difficile. Essa dipende dalla struttura del modulo di Galois (in particolare dell'azione dell'inertia selvaggia) sui punti di torsione $\ell$-adica della varietà Jacobiana della curva ($J_C[\ell]$), dove $\ell \neq p$.
• Stato dell'arte: Esistono algoritmi noti per le curve ellittiche (algoritmo di Tate) e formule esplicite per curve iperellittiche (per $p \neq 2$) e curve di genere basso in casi specifici. Tuttavia, manca una formula generale ed esplicita per curve piane arbitrarie o curve superellittiche in termini di invarianti standard del campo di base.

2. Metodologia

L'autore sviluppa un approccio che collega la geometria della copertura della curva alla teoria delle rappresentazioni e alla teoria dei numeri locali. La metodologia si articola in tre fasi principali:

1. Riduzione a Coperture Semplicemente Ramificate e Chiusure di Galois:

   • Si considera una curva $C$ come una copertura di grado $n$ della retta proiettiva $\mathbb{P}^1$.
   • Si assume che la chiusura di Galois della copertura sia una copertura $S_n$-Galois (simmetrica).
   • Si utilizza la teoria delle "pezzi motivici" (motivic pieces) delle curve, definendo $X_\rho = \text{Hom}_G(\rho, (V_\ell J_X)^*)$ per una rappresentazione $\rho$ del gruppo di Galois $G$. Questo permette di decomporre il conduttore della curva in termini dei conduttori delle sue parti motiviche.

2. Relazioni tra Coperture Cicliche e Simmetriche:

   • Casi Ciclici: Si analizzano le coperture cicliche $C_n \to B$. Si dimostra che, sotto certe condizioni di ramificazione e per $p$ sufficientemente grande, l'esponente del conduttore selvaggio di una componente irriducibile non banale è uguale a quello della componente banale (triviale).
   • Caso Simmetrico ($S_n$): Si generalizza il risultato a coperture $S_n$. Il teorema chiave (Teorema 5.2) stabilisce una relazione lineare tra l'esponente del conduttore della parte "standard" irriducibile ($F_n$) e quello della rappresentazione segno ($\varepsilon$) e di quella banale ($1$).
   • Risultato Chiave: Per una copertura semplicemente ramificata di $\mathbb{P}^1$ di grado $n$ (con $p > n$), l'esponente del conduttore selvaggio di una curva $C$ è uguale a quello di una curva iperellittica $D$ che condivide lo stesso insieme di punti di ramificazione.

3. Perturbazione e Local Constancy:

   • Per trattare curve piane generali (non necessariamente iperellittiche o con ramificazione semplice), l'autore introduce un argomento di perturbazione.
   • Si dimostra che l'esponente del conduttore selvaggio è localmente costante rispetto alle perturbazioni p-adiche dei coefficienti dell'equazione della curva.
   • Si perturba l'equazione della curva $f(x,y)=0$ per ottenere una copertura semplicemente ramificata, calcolando il conduttore per la curva perturbata (dove vale la formula per le curve iperellittiche associate) e si estende il risultato alla curva originale grazie alla continuità.

3. Risultati Principali e Contributi Chiave

A. Formula Generale per Curve Piane (Teorema 1.4)

Il risultato centrale è una formula esplicita per l'esponente del conduttore selvaggio di una curva piana liscia $C: f(x,y)=0$ definita su $K$, assumendo $p > \deg_x f$.
La formula è:
$$n_{C, \text{wild}} = w_K(\text{disc}_x f)$$
Dove:

• $\text{disc}_x f$ è il discriminante di $f$ rispetto a $x$.
• $w_K(g)$ è un invariante calcolabile per un polinomio $g \in K[t]$, definito come:
  $$w_K(g) = \sum_{r \in R/G_K} m(r) \cdot (v_K(\Delta_{K(r)/K}) - [K(r):K] + f_{K(r)/K})$$
  con $R$ radici di $g$, $m(r)$ molteplicità, $\Delta$ discriminante, $f$ grado di residuo.
• Significato: Questo generalizza la formula nota per le curve iperellittiche ($n=2$) a curve di grado arbitrario, riducendo il calcolo della Jacobiana complessa al calcolo di invarianti del discriminante univariato.

B. Corollario per Curve Superellittiche (Corollario 1.7)

Per curve superellittiche della forma $y^n = f(x)$ con $f$ senza fattori quadrati e $p > n$:
$$n_{C, \text{wild}} = (n-1) \cdot w_K(f)$$
Questo fornisce un calcolo diretto senza bisogno di calcolare il discriminante completo della curva, ma solo quello del polinomio $f$.

C. Generalizzazione a Coperture Arbitrarie (Teorema 5.2)

Si dimostra che per una copertura $S_n$ di una curva $B$, con ramificazione semplice (eccetto al massimo un punto), vale:
$$n_{\text{wild}}(X_{F}) = (n-2) \cdot n_{\text{wild}}(X_1) + n_{\text{wild}}(X_{\varepsilon})$$
Questo risultato permette di collegare il conduttore di curve di genere alto a quello di curve iperellittiche (quozienti per $A_n$).

D. Correzione alla Letteratura (Appendice A)

L'autore identifica e corregge un errore minore nella letteratura riguardante la 3-torsione delle curve di genere 2 (specificamente in [7, Proposizione 4.1]).

• Problema: La formula originale per la corrispondenza tra punti di 3-torsione e tuple di coefficienti falliva nel catturare tutti i punti per curve che ammettono mappe di grado 3 su $\mathbb{P}^1$ non semplicemente ramificate.
• Soluzione: Viene proposta una versione corretta che include tre casi distinti di tuple, coprendo anche i casi in cui la curva ammette mappe di grado 3 con ramificazione non semplice.

4. Significato e Impatto

1. Computabilità Efficiente: La formula principale trasforma un problema geometrico-algebrico complesso (calcolo della struttura di Galois della Jacobiana) in un problema puramente algebrico di calcolo del discriminante e dei suoi invarianti di campo, che è implementabile in software come Magma o SageMath.
2. Generalizzazione: Estende i risultati noti per le curve iperellittiche a una classe molto più ampia di curve piane e superellittiche, fornendo un metodo unificato.
3. Indipendenza dalla Struttura Ciclica: Anche se le curve superellittiche hanno una struttura ciclica naturale, l'approccio dell'autore dimostra che tale struttura può essere "rimossa" tramite perturbazione per applicare la formula generale, rendendo il risultato più robusto e applicabile a curve non cicliche.
4. Condizione su $p$: I risultati sono validi per $p > n$ (dove $n$ è il grado della copertura o del polinomio), una condizione che garantisce l'assenza di interferenze con la torsione $\ell$-adica per $\ell \neq p$ e semplifica l'azione dell'inertia selvaggia.

In sintesi, il lavoro fornisce un ponte fondamentale tra la teoria delle rappresentazioni dei gruppi di Galois e la geometria aritmetica delle curve, offrendo strumenti pratici per il calcolo di invarianti fondamentali nella teoria dei numeri.