Wild conductor exponents of curves

Título: Exponentes de Condutor Selvagem de Curvas

Autor: Harry Spencer
Contexto: Teoria dos Números (Geometria Aritmética), Especificamente sobre curvas algébricas sobre extensões finitas de $\mathbb{Q}_p$.

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1. O Problema

O artigo aborda o cálculo do condutor local de curvas algébricas definidas sobre um corpo local $K$ (uma extensão finita de $\mathbb{Q}_p$). O condutor é um invariante que mede a "má redução" da curva. Ele é definido como um ideal $N = (\pi^{n_C})$, onde $n_C$ é o expoente do condutor.

O expoente $n_C$ é decomposto em duas partes:
$$n_C = n_{C, \text{tame}} + n_{C, \text{wild}}$$

• Parte Tame ($n_{C, \text{tame}}$): Pode ser extraída de modelos regulares da curva.
• Parte Selvagem ($n_{C, \text{wild}}$): É geralmente difícil de determinar. Ela deriva da estrutura de módulo de Galois (especificamente do módulo de inércia selvagem) do grupo de torção $\ell$-torsion ($J_C[\ell]$) da Jacobiana da curva, para $\ell \neq p$.

Embora existam algoritmos para curvas elípticas (Algoritmo de Tate) e fórmulas explícitas para curvas hiperelípticas (para $p \neq 2$) e curvas de gênero baixo, não havia uma fórmula geral e explícita para curvas planas arbitrárias ou curvas superelípticas de grau $n$ quando $p > n$, expressa apenas em termos de invariantes padrão de extensões de corpos p-ádicos.

2. Metodologia

O autor desenvolve uma abordagem baseada na teoria de representações de Galois e na geometria de recobrimentos (covers) de curvas. A metodologia segue os seguintes passos principais:

1. Decomposição de Representações (Peças Motivicas):
   Utiliza-se o quadro de "peças motivicas" de curvas (baseado em [8]). Para uma curva $X$ com ação de um grupo finito $G$, define-se $X_\rho = \text{Hom}_G(\rho, (V_\ell J_X)^*)$. O expoente do condutor selvagem é aditivo sobre essas peças.

2. Estudo de Recobrimentos Cíclicos:
   O autor primeiro estabelece relações entre os condutores de curvas e seus recobrimentos cíclicos de ordem prima e geral (Seção 4).

   • Proposição Chave: Para um recobrimento cíclico $C_n \to B$, sob condições de ramificação controlada e $p$ suficientemente grande, o condutor selvagem de qualquer representação irredutível não trivial é igual ao condutor da representação trivial (ou seja, o condutor da base).
   • Isso é provado analisando a ação da inércia selvagem na torção $\ell$-torsion da Jacobiana e utilizando o Teorema de Maschke e propriedades de polinômios característicos.

3. Recobrimentos Simétricos e Teorema de Indução de Artin:
   A estratégia central (Seção 5) é conectar curvas gerais a curvas hiperelípticas através de recobrimentos do tipo $S_n$ (grupo simétrico).

   • O autor prova que, para um recobrimento $S_n$ simplesmente ramificado (exceto possivelmente em um ponto), o condutor selvagem da peça associada à representação padrão $F_n$ de $S_n$ pode ser expresso em termos do condutor da curva base e de um recobrimento de grau 2 (hiperelíptico).
   • Utiliza-se um lema de indução de Artin para decompor representações de $S_n$ em subgrupos cíclicos, permitindo a aplicação dos resultados da Seção 4.

4. Perturbação e Constância Local:
   Para lidar com curvas que não são recobrimentos simplesmente ramificados (como curvas planas gerais), o autor utiliza um argumento de perturbação (Seção 6).

   • Mostra-se que o expoente do condutor selvagem é localmente constante sob pequenas perturbações dos coeficientes do polinômio definidor da curva.
   • Isso permite aproximar uma curva arbitrária por uma curva que admite um recobrimento simplesmente ramificado para o qual a fórmula já é conhecida, garantindo que o resultado se mantenha no limite.

3. Principais Contribuições e Resultados

A. Teorema Principal (Teorema 1.1 e 5.2)

O autor prova que, para uma curva $C/K$ com um recobrimento de grau $n$ para $\mathbb{P}^1$ que é simplesmente ramificado (e $p > n$), o expoente do condutor selvagem de $C$ é igual ao de uma curva hiperelíptica $D$ que compartilha o mesmo conjunto de pontos de ramificação.

• Resultado: $n_{C, \text{wild}} = n_{D, \text{wild}}$.
• Isso reduz o problema de curvas de gênero alto para curvas hiperelípticas, cujos condutores são bem compreendidos.

B. Fórmula Explícita para Curvas Planas (Teorema 1.4 / Teorema 6.5)

Para uma curva afim suave $C: f(x, y) = 0$ sobre $K$ com compactificação suave, se $p > \deg_x f$, o expoente do condutor selvagem é dado por:
$$n_{C, \text{wild}} = w_K(\text{disc}_x f)$$
Onde $w_K(g)$ é um invariante definido para um polinômio $g \in K[t]$:
$$w_K(g) = \sum_{r \in R/G_K} m(r) \cdot (v_K(\Delta_{K(r)/K}) - [K(r):K] + f_{K(r)/K})$$

• Aqui, $R$ são as raízes de $g$, $m(r)$ a multiplicidade, $\Delta$ o discriminante, e $f$ o grau do resíduo.
• Esta fórmula generaliza o resultado conhecido para curvas hiperelípticas ($n=2$).

C. Aplicação a Curvas Superelípticas (Corolário 1.7)

Para curvas superelípticas $C: y^n = f(x)$ com $f$ sem quadrados e $p > n$:
$$n_{C, \text{wild}} = (n-1) \cdot w_K(f)$$
O autor também discute uma generalização para o caso onde $f$ não é sem quadrados (Proposição 1.8), alinhando-se com trabalhos futuros de Obus e Srinivasan.

D. Correção na Literatura (Apêndice A)

O autor identifica e corrige um erro em [7, Proposição 4.1] sobre a correspondência entre pontos de 3-torção em curvas de gênero 2 e certas tuplas de polinômios.

• A fórmula original falhava em casos onde a curva admite um recobrimento de grau 3 para $\mathbb{P}^1$ não simplesmente ramificado.
• O autor fornece uma versão corrigida (Proposição A.2) que inclui três casos distintos de tuplas, cobrindo todos os pontos de 3-torção.

4. Significado e Impacto

1. Generalização: O trabalho fornece a primeira fórmula explícita e computável para o condutor selvagem de uma classe ampla de curvas planas e superelípticas, indo além das curvas hiperelípticas e de gênero baixo.
2. Computabilidade: A fórmula depende apenas de invariantes de extensões de corpos p-ádicos (discriminantes, graus de ramificação, graus de resíduo), que são eficientemente computáveis em softwares como Magma. O artigo demonstra isso com um exemplo numérico de uma curva de gênero 6 sobre $\mathbb{Q}_7$.
3. Conexão Teórica: Estabelece uma ponte profunda entre a geometria de recobrimentos (ramificação) e a aritmética de Jacobianas (condutores), mostrando que a estrutura de ramificação de um recobrimento simples determina completamente o comportamento selvagem do condutor.
4. Correção de Erros: A correção no Apêndice A é crucial para a precisão de algoritmos que calculam condutores de curvas de gênero 2 em característica 2, um caso frequentemente problemático.

Em resumo, o artigo resolve um problema aberto na geometria aritmética ao fornecer um método algorítmico e teórico robusto para calcular o condutor selvagem de curvas definidas por equações polinomiais, unificando casos anteriores e expandindo o escopo para curvas de gênero arbitrário sob condições de característica $p$ adequadas.