Wild conductor exponents of curves

Titel: Wild Conductor Exponenten van Curven

Auteur: Harry Spencer
Trefwoorden: Algebraïsche meetkunde, Getaltheorie, $p$-adische getallen, Conductor, Galois-voorstellingen, Riemann-Hurwitz.

1. Probleemstelling

Het artikel adresseert het probleem van het expliciet berekenen van de wilde conductor-exponent ($n_{C,wild}$) van een algebraïsche kromme $C$ gedefinieerd over een eindige extensie $K$ van de $p$-adische getallen $\mathbb{Q}_p$.

• Context: De conductor $N = (\pi^{n_C})$ is een invariant die de "slechte reductie" van een kromme meet. De exponent $n_C$ wordt opgesplitst in een tamelijk deel ($n_{C,tame}$) en een wild deel ($n_{C,wild}$).
• Uitdaging: Het tamelijk deel kan vaak worden afgeleid uit een regulier model. Het wilde deel is echter veel moeilijker te bepalen en hangt af van de structuur van de Galois-module (specifiek de wilde traagheidsactie) op de $\ell$-torsie van de Jacobiaan $J_C[\ell]$ (waarbij $p \neq \ell$).
• Bestaande oplossingen: Er zijn algoritmen voor elliptische curven (Tate's algoritme) en formules voor hyperelliptische curven ($p \neq 2$) en enkele andere specifieke gevallen (genus $\leq 5$, superelliptische curven). Er ontbreekt echter een algemene, expliciete formule voor willekeurige vlakke curven, vooral in termen van standaard invarianten van de onderliggende veldextensies.

2. Methodologie

Spencer ontwikkelt een nieuwe aanpak die de wilde conductor-exponent relateert aan de vertakkingslocatie van een overdekking van de projectieve lijn $\mathbb{P}^1$. De methode combineert representatietheorie, de theorie van Galois-overdekkingen en perturbatietechnieken.

• Motivische stukken: De auteur gebruikt het raamwerk van "motivische stukken" van curven (gebaseerd op werk van Dokchitser). Voor een $G$-overdekking $\pi: X \to B$ en een representatie $\rho$ van $G$, wordt een deelvariëteit $X_\rho$ van de Jacobiaan gedefinieerd. De wilde conductor van de kromme wordt gerelateerd aan die van deze stukken.
• Cyclische en Symmetrische overdekkingen:
  • Eerst worden relaties afgeleid voor cyclische overdekkingen ($C_n$). De auteur toont aan dat onder bepaalde voorwaarden ($p$ groot genoeg), de wilde conductor-exponenten van alle irreducibele representaties van de cyclische groep gelijk zijn aan die van de triviale representatie.
  • Vervolgens wordt dit uitgebreid naar symmetrische groepen ($S_n$). Door gebruik te maken van een inductie-lemma (vergelijkbaar met Artin's inductiestelling) en de relaties voor cyclische ondergroepen, wordt een verband gelegd tussen de conductor van een willekeurige $S_n$-overdekking en die van een hyperelliptische overdekking (een $S_n$-overdekking met een specifieke kwadratische quotiënt).
• Perturbatie: Om de resultaten toe te passen op willekeurige vlakke curven (die niet noodzakelijk een $S_n$-Galois-sluiting hebben of eenvoudig vertakt zijn), gebruikt de auteur een perturbatieargument. Hij toont aan dat de wilde conductor-exponent lokaal constant is onder kleine $p$-adische verstoringen van de coëfficiënten van het polynoom dat de kromme definieert. Hierdoor kan men een willekeurige kromme benaderen door een "simpeel vertakte" kromme waarvoor de formules gelden.

3. Belangrijkste Resultaten en Bijdragen

Hoofdstelling 1.1 (Vereenvoudigde versie)

Voor een kromme $C/K$ met een eenvoudig vertakte overdekking van graad $n$ naar $\mathbb{P}^1$ (met $p > n$), is de wilde conductor-exponent gelijk aan die van een hyperelliptische kromme $D$ die dezelfde vertakkingslocatie heeft.
$$n_{C,wild} = n_{D,wild}$$
Dit reduceert het probleem voor complexe curven tot het probleem voor hyperelliptische curven, waarvoor er al formules bestaan.

Hoofdstelling 1.4 (De expliciete formule)

Voor een gladde affiene kromme $C: f(x, y) = 0$ met een gladde compactificatie, geldt als $p > \deg_x f$:
$$n_{C,wild} = w_K(\text{disc}_x f)$$
Hierbij is $w_K(g)$ een expliciete som die afhangt van de discriminant van het polynoom $g$ en de veldextensies gegenereerd door de wortels van $g$.

• Definitie van $w_K(g)$:
  $$w_K(g) = \sum_{r \in R/G_K} m(r) \cdot (v_K(\Delta_{K(r)/K}) - [K(r):K] + f_{K(r)/K})$$
  Waarbij $R$ de wortels zijn, $m(r)$ de multipliciteit, $\Delta$ de discriminant, en $f$ de residu-graad.
• Betekenis: Deze formule generaliseert de bekende formule voor hyperelliptische curven ($n=2$) naar willekeurige vlakke curven.

Corollary 1.7 (Superelliptische curven)

Voor superelliptische curven $y^n = f(x)$ met $p > n$ en $f$ vierkantsvrij:
$$n_{C,wild} = (n-1) \cdot w_K(f)$$

Appendix A: Correctie van de literatuur

De auteur identificeert en corrigeert een fout in de bestaande literatuur (specificiek [7, Proposition 4.1]) over de 3-torsie van curven van genus 2. De oorspronkelijke formule voor het corresponderen van 3-torsiepunten met polynoomtuples was incompleet; het miste gevallen waarbij de kromme een niet-simpel vertakte overdekking van graad 3 naar $\mathbb{P}^1$ toelaat. De gecorrigeerde stelling (Propositie A.2) omvat drie gevallen van tuples in plaats van één.

4. Significatie en Impact

• Algemene Toepasbaarheid: De paper biedt een uniforme methode om de wilde conductor te berekenen voor een breed scala aan curven (vlakke curven, superelliptische curven, enz.) zonder afhankelijk te zijn van specifieke structuren zoals cycliciteit, zolang $p$ groot genoeg is ($p > \deg$).
• Efficiëntie: De formule $w_K(\text{disc}_x f)$ is computatievriendelijk en kan direct worden geïmplementeerd in software zoals Magma, aangezien de benodigde invarianten (discriminanten, veldextensies) standaard zijn.
• Theoretische Verbinding: Het werk verbindt de theorie van conductor-exponenten met de theorie van discriminanten van polynomen en Galois-sluitingen, en toont aan hoe perturbatie-methoden kunnen worden gebruikt om resultaten van "ideale" gevallen (simpel vertakt) toe te passen op generieke gevallen.
• Correctie: De correctie in Appendix A is essentieel voor nauwkeurige berekeningen van torsiepunten en conductoren bij genus 2 curven, vooral in situaties met $p=2$ of specifieke geometrische configuraties.

Conclusie

Harry Spencer levert een krachtig en expliciet instrument aan voor de berekening van wilde conductor-exponenten. Door het probleem te reduceren tot de analyse van de discriminant van het definierende polynoom en gebruik te maken van perturbatietechnieken, maakt hij de berekening toegankelijk voor een veel bredere klasse van curven dan voorheen mogelijk was, terwijl hij tegelijkertijd bestaande fouten in de theorie van genus 2 curven rechtzet.