Hirzebruch-Zagier cycles in $p$-adic families and adjoint $L$-values

Sintesi Tecnica: Cicli di Hirzebruch–Zagier in Famiglie p-adiche e Valori L Adjoint

Enunciato del Problema
Il lavoro affronta una lacuna classica nella letteratura riguardante la variazione p-adica dei cicli speciali sulle varietà modulari di Hilbert. Sebbene la variazione p-adica delle classi di coomologia (come i punti di Heegner) sia stata ampiamente studiata per varie varietà di Shimura, il caso specifico delle varietà modulari di Hilbert presenta ostacoli tecnici. Nello specifico, queste varietà non soddisfano l'assioma SV5 di Milne, che tipicamente garantisce che il centro del gruppo non contenga un toro R-split che non sia già Q-split. Tale ostacolo impedisce l'applicazione diretta dei metodi esistenti (ad esempio da [Loe21], [LRZ]) utilizzati per costruire famiglie p-adiche di cicli.

Gli autori mirano a costruire famiglie p-adiche di cicli generalizzati di Hirzebruch–Zagier che sorgono da varietà modulari di Hilbert associate a un'estensione quadratica $E/F$ di campi di numeri totalmente reali. Una principale applicazione di tale costruzione è la definizione geometrica di una funzione L p-adica adjoint multivariata, twistata dal carattere di Hecke di $E/F$, associata alle famiglie Hida di forme modulari di Hilbert su $F$.

Metodologia
Gli autori impiegano una combinazione della teoria di Iwasawa, della teoria del cambiamento di base per le rappresentazioni automorfe e di costruzioni geometriche esplicite dei cicli.

1. Superamento dell'Ostacolo SV5: Gli autori adattano il quadro di Loeffler [Loe21] e Loeffler–Rossi–Zerbes [LRZ]. Dimostrano che l'ipotesi dell'assioma SV5 di Milne può essere rimossa nel contesto delle varietà modulari di Hilbert. Ciò è ottenuto analizzando attentamente l'intersezione dei sottogruppi di livello nella torre p-adica con il centro del gruppo $G = \text{Res}_{E/\mathbb{Q}}\text{GL}_2$. Costruiscono una torre specifica di sottogruppi di livello $(V_r)_r$ indicizzata da multi-indici $r \in \mathbb{Z}_{\geq 0}^{|\Upsilon_{F,p}|}$, dove $\Upsilon_{F,p}$ è l'insieme dei primi di $F$ sopra $p$.
2. Costruzione del Grande Ciclo: Utilizzando un argomento di varietà sferica che coinvolge un elemento $u \in G(\mathbb{Z}_p)$ e l'immersione diagonale $\iota: H \hookrightarrow G$ (dove $H = \text{Res}_{F/\mathbb{Q}}\text{GL}_2$), gli autori definiscono i cicli di Hirzebruch–Zagier $Z^k_r$ a livelli finiti. Sfruttando il proiettore ordinario $e^{n.ord}$ associato a un operatore di Hecke specifico $T_\eta$, dimostrano l'esistenza di una "Classe di Hirzebruch–Zagier Grande" $Z_\infty$ nel gruppo di coomologia di Iwasawa ordinaria di grado medio $H^{2d}_{\text{Iw}}(Y_G(V_\infty), \mathcal{O})$.
3. Mappe di Momento e Specializzazione: Gli autori definiscono mappe di momento $\text{mom}^k_r$ che collegano la classe universale di Iwasawa $Z_\infty$ ai cicli classici a livelli finiti. Stabiliscono teoremi di controllo che mostrano come la parte ordinaria della coomologia di Iwasawa sia un modulo finito sull'algebra di Iwasawa $\Lambda_{G/H}$.
4. Cambiamento di Base e Funzioni L: Sfruttando la teoria del cambiamento di base (Getz–Goresky [GG12]), gli autori collegano il prodotto scalare dei cicli di Hirzebruch–Zagier con le forme differenziali al residuo in $s=1$ della funzione L di Asai. Tale residuo, a sua volta, è legato alla funzione L adjoint $L(\text{Ad}(f) \otimes \eta_{E/F}, 1)$ di una forma modulare di Hilbert $f$ su $F$.
5. Costruzione Geometrica della Funzione L p-adica: Valutando la Classe di Hirzebruch–Zagier Grande contro un idempotente specifico associato a una famiglia Hida $f$ (e al suo cambiamento di base $f_E$), gli autori definiscono la funzione L p-adica $L_p(\text{Ad}(f) \otimes \eta_{E/F})$ come un elemento del campo dei coefficienti della famiglia.

Contributi e Risultati Chiave

• Teorema 1.1 (Esistenza della Grande Classe): Gli autori dimostrano l'esistenza di una Classe di Hirzebruch–Zagier Grande $Z_\infty$ nella coomologia di Iwasawa ordinaria. Mostrano che la specializzazione di tale classe a un peso $k$ produce il ciclo classico di Hirzebruch–Zagier (twistato da operatori di Hecke) a meno di un fattore di Eulero esplicito. Questo risultato colma la lacuna nella letteratura relativa alle famiglie p-adiche di cicli per le varietà modulari di Hilbert, gestendo specificamente il caso in cui il centro non è Q-split.
• Teorema 1.2 (Costruzione della Funzione L p-adica Adjoint): Il lavoro costruisce una funzione L p-adica multivariata $L_p(\text{Ad}(f) \otimes \eta_{E/F})$ per una famiglia Hida $f$ di forme modulari di Hilbert su $F$. Tale funzione interpola le parti algebriche dei valori speciali $L(\text{Ad}(f) \otimes \eta_{E/F}, 1)$ mentre $f$ varia nella famiglia.
• Formule di Interpolazione Esplicite: Gli autori forniscono formule di interpolazione precise (Teorema 7.8) per la funzione L p-adica a pesi classici. Queste formule coinvolgono fattori di Eulero in $p$, somme di Gauss e il residuo delle funzioni zeta di Dedekind parziali, a seconda del comportamento locale della forma (non ramificata, Steinberg o serie principale ramificata).
• Teoremi di Controllo: Il lavoro stabilisce un teorema di controllo (Teorema 4.34) per la coomologia di Iwasawa delle varietà modulari di Hilbert, garantendo che la mappa di specializzazione sia un isomorfismo sotto certe condizioni (assenza di torsione e concentrazione in un singolo grado).

Significato
Il lavoro rivendica significato in due aree principali:

1. Costruzione Geometrica: A differenza delle precedenti costruzioni di funzioni L p-adiche adjoint per forme modulari di Hilbert (ad esempio [Hid90], [Wu01], [Ros16]) che spesso si basano sull'interpretazione del valore L come numero di congruenza o sull'uso di formule analitiche senza una famiglia di cicli geometrici, questo lavoro fornisce una costruzione geometrica. Realizza la funzione L p-adica come l'immagine di una classe di coomologia universale (il Grande ciclo di Hirzebruch–Zagier) sotto un idempotente specifico. Ciò collega i valori L direttamente alla geometria delle varietà modulari di Hilbert attraverso il quadro del programma di Kudla.
2. Estensione del Programma di Kudla: Il lavoro generalizza il teorema di Hirzebruch–Zagier e il teorema di Gross–Kohnen–Zagier al contesto delle famiglie p-adiche per le varietà modulari di Hilbert. Dimostra che le profonde congetture che collegano i cicli speciali ai valori L valgono nel contesto della variazione p-adica, anche in assenza dell'assioma SV5.

Gli autori notano che, sebbene la variazione p-adica del teorema di Gross–Kohnen–Zagier tramite Grandi punti di Heegner sia stata trattata da Longo e Nicole [LN19, LN20], questo lavoro estende tali tecniche al contesto di dimensione superiore delle superfici e varietà modulari di Hilbert, utilizzando il cambiamento di base quadratico relativo per le rappresentazioni automorfe come strumento centrale. La costruzione è limitata al caso ordinario, sebbene gli autori suggeriscano che le tecniche da [Roc22] potrebbero potenzialmente estendere questi risultati a situazioni non ordinarie in lavori futuri.