Hirzebruch-Zagier cycles in $p$-adic families and adjoint $L$-values

Résumé technique : Cycles de Hirzebruch–Zagier dans les familles p-adiques et valeurs L adjointes

Énoncé du problème
L'article comble une lacune classique de la littérature concernant la variation p-adique des cycles spéciaux sur les variétés modulaires de Hilbert. Bien que la variation p-adique des classes de cohomologie (telles que les points de Heegner) ait été largement étudiée pour diverses variétés de Shimura, le cas spécifique des variétés modulaires de Hilbert présente des obstacles techniques. Plus précisément, ces variétés ne satisfont pas l'axiome SV5 de Milne, qui garantit généralement que le centre du groupe ne contient aucun tore déployé sur R qui ne soit pas déjà déployé sur Q. Cet obstacle empêche l'application directe des méthodes existantes (par exemple, celles de [Loe21], [LRZ]) utilisées pour construire des familles p-adiques de cycles.

Les auteurs visent à construire des familles p-adiques de cycles de Hirzebruch–Zagier généralisés issus des variétés modulaires de Hilbert associées à une extension quadratique E/F de corps de nombres totalement réels. Une application principale de cette construction est la définition géométrique d'une fonction L p-adique adjointe multivariable, tordue par le caractère de Hecke de E/F, attachée aux familles de Hida de formes modulaires de Hilbert sur F.

Méthodologie
Les auteurs utilisent une combinaison de la théorie d'Iwasawa, de la théorie du changement de base pour les représentations automorphes et de constructions géométriques explicites de cycles.

1. Surmonter l'obstacle SV5 : Les auteurs adaptent le cadre de Loeffler [Loe21] et de Loeffler–Rossi–Zerbes [LRZ]. Ils démontrent que l'hypothèse de l'axiome SV5 de Milne peut être supprimée dans le contexte des variétés modulaires de Hilbert. Cela est obtenu en analysant soigneusement l'intersection des sous-groupes de niveau dans la tour p-adique avec le centre du groupe G = Res_{E/Q}GL_2. Ils construisent une tour spécifique de sous-groupes de niveau (V_r)r indexée par des multi-indices r ∈ Z{≥0}^{|Υ_{F,p}|}, où Υ_{F,p} est l'ensemble des places de F au-dessus de p.
2. Construction du grand cycle : En utilisant un argument de variété sphérique impliquant un élément u ∈ G(Z_p) et l'immersion diagonale ι : H ↪ G (où H = Res_{F/Q}GL_2), les auteurs définissent les cycles de Hirzebruch–Zagier Z^k_r aux niveaux finis. En exploitant le projecteur ordinaire e^{n.ord} associé à un opérateur de Hecke spécifique T_η, ils prouvent l'existence d'une « grande classe de Hirzebruch–Zagier » Z_∞ dans le groupe de cohomologie d'Iwasawa ordinaire de degré intermédiaire H^{2d}{Iw}(Y_G(V∞), O).
3. Applications de moment et spécialisation : Les auteurs définissent des applications de moment mom^k_r qui relient la classe d'Iwasawa universelle Z_∞ aux cycles classiques aux niveaux finis. Ils établissent des théorèmes de contrôle montrant que la partie ordinaire de la cohomologie d'Iwasawa est un module fini sur l'algèbre d'Iwasawa Λ_{G/H}.
4. Changement de base et fonctions L : S'appuyant sur la théorie du changement de base (Getz–Goresky [GG12]), les auteurs relient le produit scalaire des cycles de Hirzebruch–Zagier avec des formes différentielles au résidu en s=1 de la fonction L d'Asai. Ce résidu est, à son tour, lié à la fonction L adjointe L(Ad(f) ⊗ η_{E/F}, 1) d'une forme modulaire de Hilbert f sur F.
5. Construction géométrique de la fonction L p-adique : En évaluant la grande classe de Hirzebruch–Zagier contre un idempotent spécifique associé à une famille de Hida f (et son changement de base f_E), les auteurs définissent la fonction L p-adique L_p(Ad(f) ⊗ η_{E/F}) comme un élément du corps des coefficients de la famille.

Contributions et résultats clés

• Théorème 1.1 (Existence de la grande classe) : Les auteurs prouvent l'existence d'une grande classe de Hirzebruch–Zagier Z_∞ dans la cohomologie d'Iwasawa ordinaire. Ils montrent que la spécialisation de cette classe en un poids k donne le cycle classique de Hirzebruch–Zagier (tordu par des opérateurs de Hecke) à un facteur eulérien explicite près. Ce résultat comble la lacune de la littérature concernant les familles p-adiques de cycles pour les variétés modulaires de Hilbert, en traitant spécifiquement le cas où le centre n'est pas déployé sur Q.
• Théorème 1.2 (Construction de la fonction L p-adique adjointe) : L'article construit une fonction L p-adique multivariable L_p(Ad(f) ⊗ η_{E/F}) pour une famille de Hida f de formes modulaires de Hilbert sur F. Cette fonction interpole les parties algébriques des valeurs spéciales L(Ad(f) ⊗ η_{E/F}, 1) lorsque f varie dans la famille.
• Formules d'interpolation explicites : Les auteurs fournissent des formules d'interpolation précises (Théorème 7.8) pour la fonction L p-adique aux poids classiques. Ces formules impliquent des facteurs eulériens en p, des sommes de Gauss et le résidu de fonctions zêta de Dedekind partielles, selon le comportement local de la forme (non ramifiée, Steinberg ou série principale ramifiée).
• Théorèmes de contrôle : L'article établit un théorème de contrôle (Théorème 4.34) pour la cohomologie d'Iwasawa des variétés modulaires de Hilbert, garantissant que l'application de spécialisation est un isomorphisme sous certaines conditions (absence de torsion et concentration en un seul degré).

Signification
L'article revendique une importance dans deux domaines principaux :

1. Construction géométrique : Contrairement aux constructions antérieures de fonctions L p-adiques adjointes pour les formes modulaires de Hilbert (par exemple [Hid90], [Wu01], [Ros16]) qui reposent souvent sur l'interprétation de la valeur L comme un nombre de congruence ou sur des formules analytiques sans famille de cycles géométriques, ce travail fournit une construction géométrique. Il réalise la fonction L p-adique comme l'image d'une classe de cohomologie universelle (le grand cycle de Hirzebruch–Zagier) sous un idempotent spécifique. Cela relie directement les valeurs L à la géométrie des variétés modulaires de Hilbert via le cadre du programme de Kudla.
2. Extension du programme de Kudla : Ce travail généralise le théorème de Hirzebruch–Zagier et le théorème de Gross–Kohnen–Zagier au contexte des familles p-adiques pour les variétés modulaires de Hilbert. Il démontre que les conjectures profondes reliant les cycles spéciaux aux valeurs L sont valables dans le contexte de la variation p-adique, même en l'absence de l'axiome SV5.

Les auteurs notent que si la variation p-adique du théorème de Gross–Kohnen–Zagier via les grands points de Heegner a été traitée par Longo et Nicole [LN19, LN20], cet article étend de telles techniques au cadre de dimension supérieure des surfaces et variétés modulaires de Hilbert, en utilisant le changement de base quadratique relatif pour les représentations automorphes comme outil central. La construction est limitée au cas ordinaire, bien que les auteurs suggèrent que les techniques de [Roc22] pourraient potentiellement étendre ces résultats à des situations non ordinaires dans des travaux futurs.