Hirzebruch-Zagier cycles in $p$-adic families and adjoint $L$-values

Resumo Técnico: Ciclos de Hirzebruch–Zagier em Famílias $p$-ádicas e Valores $L$ Adjoint

Enunciado do Problema
O artigo aborda uma lacuna clássica na literatura relativa à variação $p$-ádica de ciclos especiais em variedades modulares de Hilbert. Embora a variação $p$-ádica de classes de cohomologia (como pontos de Heegner) tenha sido extensivamente estudada para várias variedades de Shimura, o caso específico das variedades modulares de Hilbert apresenta obstáculos técnicos. Especificamente, essas variedades não satisfazem o axioma SV5 de Milne, que tipicamente garante que o centro do grupo não contenha um toro $R$-dividido que não seja já $\mathbb{Q}$-dividido. Este obstáculo impede a aplicação direta de métodos existentes (por exemplo, de [Loe21], [LRZ]) utilizados para construir famílias $p$-ádicas de ciclos.

Os autores visam construir famílias $p$-ádicas de ciclos generalizados de Hirzebruch–Zagier originados de variedades modulares de Hilbert associadas a uma extensão quadrática $E/F$ de corpos de números totalmente reais. Uma aplicação primária desta construção é a definição geométrica de uma função $L$ adjunta $p$-ádica multivariável, torcida pelo caractere de Hecke de $E/F$, associada a famílias Hida de formas modulares de Hilbert sobre $F$.

Metodologia
Os autores empregam uma combinação da teoria de Iwasawa, da teoria de mudança de base para representações automórficas e de construções geométricas explícitas de ciclos.

1. Superação do Obstáculo SV5: Os autores adaptam a estrutura de Loeffler [Loe21] e Loeffler–Rossi–Zerbes [LRZ]. Eles demonstram que a hipótese do axioma SV5 de Milne pode ser removida no contexto das variedades modulares de Hilbert. Isso é alcançado analisando cuidadosamente a interseção dos subgrupos de nível na torre $p$-ádica com o centro do grupo $G = \text{Res}_{E/\mathbb{Q}}\text{GL}_2$. Eles constroem uma torre específica de subgrupos de nível $(V_r)_r$ indexada por multi-índices $r \in \mathbb{Z}_{\geq 0}^{|\Upsilon_{F,p}|}$, onde $\Upsilon_{F,p}$ é o conjunto de primos de $F$ acima de $p$.
2. Construção do Grande Ciclo: Utilizando um argumento de variedade esférica envolvendo um elemento $u \in G(\mathbb{Z}_p)$ e o mergulho diagonal $\iota: H \hookrightarrow G$ (onde $H = \text{Res}_{F/\mathbb{Q}}\text{GL}_2$), os autores definem ciclos de Hirzebruch–Zagier $Z^k_r$ em níveis finitos. Ao utilizar o projetor ordinário $e^{n.ord}$ associado a um operador de Hecke específico $T_\eta$, eles provam a existência de uma "Classe Grande de Hirzebruch–Zagier" $Z_\infty$ no grupo de cohomologia de Iwasawa ordinária de grau médio $H^{2d}_{\text{Iw}}(Y_G(V_\infty), \mathcal{O})$.
3. Mapas de Momento e Especialização: Os autores definem mapas de momento $\text{mom}^k_r$ que relacionam a classe universal de Iwasawa $Z_\infty$ aos ciclos clássicos em níveis finitos. Eles estabelecem teoremas de controle mostrando que a parte ordinária da cohomologia de Iwasawa é um módulo finito sobre a álgebra de Iwasawa $\Lambda_{G/H}$.
4. Mudança de Base e Funções $L$: Aproveitando a teoria de mudança de base (Getz–Goresky [GG12]), os autores relacionam o emparelhamento dos ciclos de Hirzebruch–Zagier com formas diferenciais ao resíduo em $s=1$ da função $L$ de Asai. Este resíduo, por sua vez, está ligado à função $L$ adjunta $L(\text{Ad}(f) \otimes \eta_{E/F}, 1)$ de uma forma modular de Hilbert $f$ sobre $F$.
5. Construção Geométrica da Função $L$ $p$-ádica: Ao avaliar a Classe Grande de Hirzebruch–Zagier contra um idempotente específico associado a uma família Hida $f$ (e sua mudança de base $f_E$), os autores definem a função $L$ $p$-ádica $L_p(\text{Ad}(f) \otimes \eta_{E/F})$ como um elemento do corpo de coeficientes da família.

Principais Contribuições e Resultados

• Teorema 1.1 (Existência da Classe Grande): Os autores provam a existência de uma Classe Grande de Hirzebruch–Zagier $Z_\infty$ na cohomologia de Iwasawa ordinária. Eles mostram que a especialização desta classe em um peso $k$ produz o ciclo clássico de Hirzebruch–Zagier (torcido por operadores de Hecke) até um fator de Euler explícito. Este resultado preenche a lacuna na literatura relativa a famílias $p$-ádicas de ciclos para variedades modulares de Hilbert, tratando especificamente o caso onde o centro não é $\mathbb{Q}$-dividido.
• Teorema 1.2 (Construção da Função $L$ $p$-ádica Adjoint): O artigo constrói uma função $L$ $p$-ádica multivariável $L_p(\text{Ad}(f) \otimes \eta_{E/F})$ para uma família Hida $f$ de formas modulares de Hilbert sobre $F$. Esta função interpola as partes algébricas dos valores especiais $L(\text{Ad}(f) \otimes \eta_{E/F}, 1)$ à medida que $f$ varia na família.
• Fórmulas de Interpolação Explícitas: Os autores fornecem fórmulas de interpolação precisas (Teorema 7.8) para a função $L$ $p$-ádica em pesos clássicos. Estas fórmulas envolvem fatores de Euler em $p$, somas de Gauss e o resíduo de funções zeta de Dedekind parciais, dependendo do comportamento local da forma (não ramificada, Steinberg ou série principal ramificada).
• Teoremas de Controle: O artigo estabelece um teorema de controle (Teorema 4.34) para a cohomologia de Iwasawa das variedades modulares de Hilbert, garantindo que o mapa de especialização seja um isomorfismo sob certas condições (liberdade de torção e concentração em um único grau).

Significado
O artigo reivindica significado em duas áreas principais:

1. Construção Geométrica: Ao contrário de construções anteriores de funções $L$ $p$-ádicas adjuntas para formas modulares de Hilbert (por exemplo, [Hid90], [Wu01], [Ros16]), que frequentemente dependem de interpretar o valor $L$ como um número de congruência ou de usar fórmulas analíticas sem uma família de ciclos geométricos, este trabalho fornece uma construção geométrica. Ele realiza a função $L$ $p$-ádica como a imagem de uma classe de cohomologia universal (o ciclo Grande de Hirzebruch–Zagier) sob um idempotente específico. Isso conecta os valores $L$ diretamente à geometria das variedades modulares de Hilbert através do arcabouço do programa de Kudla.
2. Extensão do Programa de Kudla: O trabalho generaliza o teorema de Hirzebruch–Zagier e o teorema de Gross–Kohnen–Zagier para o cenário de famílias $p$-ádicas de variedades modulares de Hilbert. Ele demonstra que as conjecturas profundas que ligam ciclos especiais a valores $L$ valem no contexto da variação $p$-ádica, mesmo na ausência do axioma SV5.

Os autores observam que, embora a variação $p$-ádica do teorema de Gross–Kohnen–Zagier via Grandes Pontos de Heegner tenha sido tratada por Longo e Nicole [LN19, LN20], este artigo estende tais técnicas para o cenário de dimensão superior de superfícies e variedades modulares de Hilbert, utilizando a mudança de base quadrática relativa para representações automórficas como ferramenta central. A construção limita-se ao caso ordinário, embora os autores sugiram que técnicas de [Roc22] poderiam potencialmente estender estes resultados a situações não ordinárias em trabalhos futuros.