The $p$-rank stratification of the moduli space of double covers of a fixed elliptic curve

Titolo

La stratificazione del p-rango dello spazio dei moduli dei doppi ricoprimenti di una curva ellittica fissa.

1. Problema e Contesto

Il lavoro si inserisce nello studio della geometria aritmetica delle curve algebriche in caratteristica $p > 2$. In particolare, gli autori investigano la stratificazione del p-rango dello spazio dei moduli delle curve di genere $g$ che ammettono un ricoprimento doppio (di grado 2) verso una curva ellittica fissa $E$ definita su un campo algebricamente chiuso $k$.

• Definizioni chiave: Il p-rango di una curva $C$ è definito come il p-rango della sua varietà Jacobiana $J(C)$. Per una varietà abeliana $A$, il p-rango $f_A$ è l'intero tale che $|A[p](k)| = p^{f_A}$, con $0 \le f_A \le \dim(A)$.
• Obiettivo: Determinare la struttura geometrica delle strati chiusi $V_f(\mathcal{M})$ (insieme di curve con p-rango $\le f$) nello spazio dei moduli $\mathcal{B}_{E,g}$ delle curve lisce di genere $g$ che sono doppi ricoprimenti di $E$.
• Domanda centrale: Gli strati chiusi sono "puri" (cioè equidimensionali) e hanno la dimensione attesa? Inoltre, esistono curve lisce per ogni possibile valore di p-rango ammissibile?

2. Metodologia

Gli autori adottano un approccio geometrico che combina la teoria degli spazi dei moduli di mappe stabili, la teoria delle deformazioni e l'analisi dei confini (boundary) degli spazi di moduli compattificati.

• Costruzione dello Spazio dei Moduli: Invece di lavorare direttamente con le curve lisce, costruiscono uno stack di Deligne-Mumford $\mathcal{M}_{E,g;n}$ che parametrizza i ricoprimenti doppi ammissibili di una curva nodale di genere 1 (dove una componente è identificata con $E$) con punti marcati. Questo permette di studiare la teoria delle deformazioni in modo più accessibile.
• Analisi del Confine: Una parte cruciale della metodologia è lo studio del confine $\overline{\mathcal{B}}_{E,g} \setminus \mathcal{B}_{E,g}$. Gli autori dimostrano che è possibile costruire curve singolari con un p-rango specifico "incollando" (clutching) curve di genere inferiore in punti doppi ordinari.
  • Vengono definiti morfismi di incollamento ($\kappa^u$ per punti non ramificati e $\kappa^r$ per punti ramificati) che mappano prodotti di spazi di moduli di curve iperellittiche e curve su $E$ nel confine dello spazio totale.
• Spazi Ridotti: Per gestire l'azione del gruppo di automorfismi di $E$, introducono uno spazio moduli ridotto $\mathcal{M}^{red}_{E,g}$, fissando la somma dei punti di ramificazione sull'identità di $E$.
• Strategia Induttiva: La dimostrazione della purezza degli strati procede per induzione sul genere $g$, utilizzando la purezza degli strati di p-rango negli spazi dei moduli di curve iperellittiche ($\mathcal{H}_g$) e la relazione tra il p-rango di una curva e quello delle sue componenti nel confine.

3. Contributi Chiave e Risultati Principali

A. Purezza e Dimensione degli Strati (Teorema 1.1)

Il risultato principale stabilisce la struttura dimensionale degli strati chiusi.

• Sia $f_E$ il p-rango della curva ellittica fissa $E$ ($f_E=1$ se ordinaria, $f_E=0$ se supersingolare).
• Per ogni $g \ge 2$ e per ogni intero $f$ tale che $f_E \le f \le g - 1 + f_E$, lo strato chiuso $V_f(\mathcal{B}_{E,g})$ è puro di dimensione:
  $$\dim = g - 2 + f - f_E$$
• Di conseguenza, per lo spazio dei moduli delle curve biellittiche $\mathcal{B}_g$ (l'unione su tutte le $E$), lo strato $V_f(\mathcal{B}_g)$ è puro di dimensione $g - 2 + f$.

B. Esistenza di Curve Lisce (Corollario 1.2)

Gli autori dimostrano l'esistenza di curve lisce con p-rango specifico:

1. Caso Ordinario ($f_E=1$): Per ogni $1 \le f \le g$, esiste una curva biellittica liscia di genere $g$ con p-rango $f$.
2. Caso Supersingolare ($f_E=0$): Per ogni $0 \le f \le g$, esiste una curva bielliptica liscia di genere $g$ con p-rango $f$, con l'unica eccezione del caso $(p, g, f) = (3, 2, 0)$.
   • Nota: Per $p=3, g=2, f=0$, non esistono curve lisce di genere 2 supersingolari che sono doppi ricoprimenti di una curva ellittica supersingolare.

C. Componenti Singolari

Il lavoro mostra che per certi valori di $f$ (in particolare $f \le g-2$ quando $E$ è supersingolare), esistono componenti intere dello strato $V_f(\mathcal{B}_{E,g})$ composte esclusivamente da curve singolari. Questo evidenzia la complessità della stratificazione rispetto al caso delle curve iperellittiche.

D. Costruzioni Esplicite (Sezione 5)

Gli autori forniscono famiglie esplicite di curve lisce con p-rango basso (vicino a $g/2$ o anche 0) costruite come normalizzazioni di prodotti fibrati tra $E$ e curve iperellittiche $H$.

• Utilizzano la decomposizione della Jacobiana del prodotto fibrato: $Jac(D) \sim Jac(E) \oplus Jac(H) \oplus Jac(H')$.
• Imponendo condizioni sui punti di ramificazione e sulla matrice di Hasse-Witt delle curve iperellittiche $H$ (ad esempio, scegliendo curve della forma $z^2 = x^n - t^n$ con condizioni su $p \pmod n$), riescono a controllare il p-rango totale.

4. Significato e Implicazioni

• Conferma della Purezza: Il risultato conferma che la stratificazione per p-rango si comporta bene anche su sottovarietà specifiche dello spazio dei moduli delle curve (il luogo biellittico), generalizzando risultati noti per le curve iperellittiche e le curve di Artin-Schreier.
• Curve Supersingolari: Lo studio ha applicazioni dirette nella ricerca di curve supersingolari (p-rango 0). Il lavoro chiarisce quando e come le curve supersingolari di genere $g$ possono apparire come doppi ricoprimenti di curve ellittiche.
  • Per $g=4$, il risultato implica che il generico punto del luogo supersingolare di $\mathcal{M}_4$ non corrisponde a un doppio ricoprimento di una curva ellittica, fornendo indizi sulla struttura del luogo supersingolare.
• Congettura di Oort: Le osservazioni sul gruppo di automorfismi delle curve supersingolari (in particolare per $g=4$) sono rilevanti per la congettura di Oort, che riguarda la minimalità del gruppo di automorfismi per i punti generici del luogo supersingolare.
• Metodologia: L'uso sistematico dei confini degli spazi dei moduli di mappe stabili per dedurre proprietà degli spazi di curve lisce rappresenta un metodo potente e trasferibile ad altri problemi di stratificazione in caratteristica positiva.

In sintesi, il paper risolve completamente la questione della dimensione e della purezza degli strati di p-rango per i doppi ricoprimenti di curve ellittiche, fornendo al contempo costruzioni esplicite e controesempi che delineano i limiti di esistenza delle curve lisce in caratteristiche specifiche.