The $p$-rank stratification of the moduli space of double covers of a fixed elliptic curve

A continuación presento un resumen técnico detallado del artículo "The p-rank stratification of the moduli space of double covers of a fixed elliptic curve" (La estratificación por p-rango del espacio de móduli de recubrimientos dobles de una curva elíptica fija), escrito por Kevin Chang, Dušan Dragutinović, Steven R. Groen, Yuxin Lin, Natalia Pacheco-Tallaj y Deepesh Singhal.

1. Planteamiento del Problema

El artículo investiga la estratificación por p-rango del espacio de móduli de curvas de género $g$ que admiten un recubrimiento doble hacia una curva elíptica fija $E$, definida sobre un cuerpo algebraicamente cerrado $k$ de característica $p > 2$.

• Contexto: En característica $p$, las variedades abelianas y las curvas poseen invariantes discretos importantes como el p-rango ($f$) y el polígono de Newton. El p-rango de una curva se define como el p-rango de su jacobiana.
• Objetivo específico: Determinar la estructura geométrica (dimensión y pureza) de las estratas cerradas $V_f(\mathcal{B}_{E,g})$, que consisten en curvas de género $g$ con p-rango $\le f$ que son recubrimientos dobles de $E$.
• Desafío: Construir explícitamente curvas suaves con un p-rango específico es difícil. El artículo aborda esto estudiando el comportamiento en el borde del espacio de móduli (curvas singulares) para inferir propiedades del interior (curvas suaves).

2. Metodología

Los autores emplean una combinación de teoría de móduli de curvas estables, teoría de recubrimientos admisibles y análisis de dimensiones en el borde del espacio de móduli.

A. Construcción del Espacio de Móduli

En lugar de trabajar directamente con el espacio de curvas suaves $\mathcal{B}_{E,g}$, construyen un espacio de móduli de recubrimientos dobles estables, denotado como $\mathcal{M}_{E,g;n}$ (y su versión reducida $\mathcal{M}^{red}_{E,g;n}$).

• Este espacio parametriza recubrimientos dobles $D \to C$ donde $C$ es una curva nodal de género 1 con una componente identificada con $E$ y otras componentes isomorfas a $\mathbb{P}^1$.
• Utilizan la teoría de mapas estables torcidos (twisted stable maps) hacia el stack $E \times B\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ para definir rigurosamente estos objetos como stacks de Deligne-Mumford.
• Se introduce un espacio "reducido" $\mathcal{M}^{red}_{E,g}$ imponiendo que la suma de los puntos de ramificación en $E$ sea el elemento neutro $O_E$, lo que permite controlar la acción del grupo de automorfismos de $E$.

B. Análisis del Borde (Boundary)

Una parte crucial de la metodología es el estudio detallado del borde $\partial \mathcal{M}_{E,g} = \mathcal{M}_{E,g} \setminus \mathcal{M}^\circ_{E,g}$.

• Se describen las componentes del borde mediante morfismos de engarce (clutching morphisms) que unen curvas de menor género.
• Se distinguen dos tipos de engarces:
  1. No ramificados ($\kappa^u$): El punto de engarce no es un punto de ramificación del recubrimiento.
  2. Ramificados ($\kappa^r$): El punto de engarce es un punto de ramificación.
• Se demuestra que el locus de curvas suaves es denso en el espacio de móduli compactificado.

C. Estrategia de Dimensiones y Pureza

Para determinar la dimensión de las estratas $V_f(\mathcal{B}_{E,g})$:

1. Cota Inferior: Se utiliza el teorema de pureza de Faber-van der Geer (basado en resultados de Oort y de Jong-Oort). Este teorema establece que si una estrata es no vacía, sus componentes tienen codimensión esperada en el espacio total.
2. Cota Superior: Se utiliza inducción sobre el género $g$. Se analiza la intersección de las estratas con el borde del espacio de móduli de curvas $\mathcal{M}_g$. Dado que el borde tiene codimensión 1, si se puede acotar la dimensión de la intersección con el borde, se puede acotar la dimensión del interior.
3. Casos Diferenciados: El análisis distingue entre si la curva elíptica fija $E$ es ordinaria ($f_E = 1$) o supersingular ($f_E = 0$), ya que el comportamiento geométrico varía significativamente, especialmente en el caso supersingular donde se requieren argumentos más sofisticados sobre el morfismo de Torelli.

3. Contribuciones Clave y Resultados Principales

Teorema Principal (Teorema 1.1)

Para $g \ge 2$ y $p > 2$, y para cualquier $f$ tal que $f_E \le f \le g - 1 + f_E$:

• La estrata cerrada $V_f(\mathcal{B}_{E,g})$ es pura de dimensión:
  $$\dim V_f(\mathcal{B}_{E,g}) = g - 2 + f - f_E$$
• Como consecuencia, para el locus de curvas bielípticas $\mathcal{B}_g$ (donde $E$ no está fija), la estrata $V_f(\mathcal{B}_g)$ es pura de dimensión $g - 2 + f$.

Este resultado confirma que las estratas tienen la dimensión "esperada" (la codimensión es $g-1-f_E - f$), generalizando resultados previos conocidos para curvas hiperelípticas y recubrimientos del plano proyectivo.

Existencia de Curvas Suaves (Corolario 1.2)

El análisis geométrico permite establecer la existencia de curvas suaves con p-rango específico:

1. Caso Ordinaria: Si $E$ es ordinaria, para cualquier $1 \le f \le g$, existe una curva suave bielíptica de género $g$ con p-rango $f$ que es recubrimiento doble de $E$.
2. Caso Supersingular: Si $E$ es supersingular, para cualquier $0 \le f \le g$, existe una curva suave bielíptica de género $g$ con p-rango $f$, excepto en el caso $(p, g, f) = (3, 2, 0)$.
   • Nota: En característica 3, no existen curvas supersingulares suaves de género 2 que sean recubrimientos dobles de una elíptica supersingular.

Aplicaciones a Curvas Supersingulares

El artículo discute la existencia de curvas supersingulares (p-rango 0) que son recubrimientos dobles:

• Género 2: Solo hay un número finito de tales curvas.
• Género 3: El locus es de dimensión 1 y consiste enteramente en curvas supersingulares.
• Género 4: Se demuestra que el punto genérico de cualquier componente del locus supersingular de curvas de género 4 no corresponde a una curva suave que sea recubrimiento doble de una elíptica. Esto resuelve parcialmente la cuestión de la existencia de curvas supersingulares suaves de género 4 como recubrimientos dobles, mostrando que la dimensión del locus de tales recubrimientos (dimensión 2) es menor que la dimensión esperada del locus supersingular completo (dimensión 3 o 4).
• Género 5: Se construyen familias explícitas de curvas supersingulares de género 5 que son recubrimientos dobles de curvas elípticas, utilizando productos fibrados de curvas elípticas e hiperelípticas.

4. Significado e Impacto

1. Generalización de Resultados: El trabajo extiende el conocimiento sobre la estratificación por p-rango más allá de los espacios de móduli clásicos ($\mathcal{M}_g$, $\mathcal{H}_g$) hacia subloci específicos definidos por morfismos hacia curvas elípticas fijas.
2. Herramientas para la Existencia: Proporciona un marco robusto para demostrar la existencia de curvas suaves con p-rango específico, un problema difícil en geometría aritmética. La técnica de usar el borde para inferir propiedades del interior es una metodología poderosa.
3. Conjetura de Oort: Los resultados tienen implicaciones para la conjetura de Oort sobre el grupo de automorfismos genérico de curvas supersingulares. Al mostrar que ciertas componentes del locus supersingular no provienen de recubrimientos dobles de elípticas, se refina la comprensión de la estructura de estos espacios.
4. Construcciones Explícitas: La sección 5 ofrece construcciones explícitas de familias de curvas con p-rango bajo utilizando productos fibrados y matrices de Hasse-Witt, proporcionando ejemplos concretos que validan los resultados teóricos.

En resumen, el artículo establece una comprensión completa de la geometría de las estratas de p-rango en el espacio de móduli de recubrimientos dobles de curvas elípticas, resolviendo cuestiones de pureza, dimensión y existencia de puntos suaves, y ofreciendo nuevas perspectivas sobre la existencia de curvas supersingulares en géneros bajos.