The $p$-rank stratification of the moduli space of double covers of a fixed elliptic curve

1. Problema e Contexto

O artigo investiga a estratificação por p-rank do espaço de módulos de curvas de gênero $g$ que admitem um revestimento duplo (double cover) de uma curva elíptica fixa $E$ sobre um corpo algebricamente fechado $k$ de característica $p > 2$.

• Definições Chave:
  • O p-rank ($f$) de uma variedade abeliana $A$ é o inteiro tal que o número de pontos de ordem $p$ em $A(k)$ é $p^f$. Para uma curva, o p-rank é definido pelo p-rank de sua Jacobiana.
  • O espaço de módulos $B_{E,g}$ consiste em curvas suaves de gênero $g$ que são revestimentos duplos de $E$.
  • O espaço de módulos compactificado é denotado por $\overline{B}_{E,g}$.
  • O p-rank de $E$ ($f_E$) pode ser 0 (supersingular) ou 1 (ordinária).

O objetivo principal é determinar a dimensão e a pureza das estratificações fechadas $V_f(B_{E,g})$ (o lugar das curvas com p-rank $\le f$) e estabelecer a existência de curvas suaves com p-ranks específicos dentro desses espaços.

2. Metodologia

Os autores utilizam uma abordagem geométrica combinando teoria de deformação, teoria de mapas estáveis e análise de fronteiras (boundary) em espaços de módulos.

• Construção de Espaços de Módulos:
  • Introduzem o stack de Deligne-Mumford $\mathcal{M}_{E,g;n}$, que parametriza revestimentos admissíveis de uma curva nodal de gênero 1 (onde uma componente é identificada com $E$) com $n$ pontos marcados não ramificados.
  • Definem um espaço de módulos "reduzido" $\mathcal{M}^{red}_{E,g;n}$, que é a fibra da soma dos pontos de ramificação sobre a identidade $O_E \in E$. Isso remove a ação de translação do grupo de automorfismos de $E$, reduzindo a dimensão em 1 e permitindo um mapeamento quasi-finito para o espaço de módulos de curvas $\mathcal{M}_g$.
• Análise da Fronteira:
  • A estratégia central baseia-se na compreensão da fronteira $\overline{B}_{E,g} \setminus B_{E,g}$. Os autores descrevem explicitamente as componentes da fronteira usando morfismos de acoplamento (clutching morphisms).
  • Eles classificam as curvas na fronteira em dois tipos principais:
    1. Não ramificadas no nó ($\Xi$): O revestimento duplo é não ramificado no ponto onde as curvas são acopladas.
    2. Ramificadas no nó ($\Delta$): O revestimento é ramificado no ponto de acoplamento.
  • Demonstram que o lugar das curvas suaves é denso no espaço compactificado e que as componentes da fronteira têm codimensão 1.
• Indução e Pureza:
  • Utilizam o teorema de pureza de Oort (generalizado por de Jong-Oort e Faber-van der Geer), que afirma que, em um esquema irreduzível, o lugar onde o p-rank cai em 1 é puro de codimensão 1 (se não for vazio).
  • Aplicam indução no gênero $g$, calculando as dimensões das interseções das estratificações de p-rank com as componentes da fronteira para obter limites superiores e inferiores para a dimensão das estratificações em $B_{E,g}$.
• Construções Explícitas:
  • Para provar a existência de curvas suaves com p-ranks específicos, utilizam produtos fibrados de curvas elípticas e hiperelípticas, analisando a matriz de Hasse-Witt para controlar o p-rank.

3. Principais Contribuições e Resultados

Teorema Principal (Teorema 1.1)

Para $g \ge 2$ e $p > 2$, o lugar fechado $V_f(B_{E,g})$ (curvas com p-rank $\le f$) é puro e tem a dimensão esperada:
$$\dim V_f(B_{E,g}) = g - 2 + f - f_E$$
onde $f_E \le f \le g - 1 + f_E$.
Como consequência, para o lugar bielíptico completo $B_g$ (curvas que são revestimentos duplos de alguma curva elíptica), a estratificação $V_f(B_g)$ é pura de dimensão $g - 2 + f$ para $0 \le f \le g$.

Corolário de Existência (Corolário 1.2)

• Para qualquer $0 \le f \le g$, existe uma curva bielíptica suave de gênero $g$ com p-rank $f$, exceto no caso específico $(p, g, f) = (3, 2, 0)$.
• Para $0 \le f \le g-2$, existe uma componente de $V_f(B_g)$ que consiste inteiramente de curvas singulares.

Resultados sobre Curvas Supersingulares

• O artigo analisa o lugar supersingular (p-rank 0) de curvas bielípticas.
• Para $g=2$, curvas supersingulares que são revestimentos duplos de uma elíptica formam um lugar de dimensão 0.
• Para $g=3$, o lugar é de dimensão 1.
• Para $g=4$, os autores mostram que o ponto genérico de qualquer componente do lugar supersingular em $\mathcal{M}_4$ não corresponde a uma curva suave que seja revestimento duplo de uma elíptica. Isso implica que as curvas supersingulares suaves de gênero 4 (cuja existência foi provada por Kudo-Harashita-Senda) não são, em geral, revestimentos duplos de curvas elípticas.
• Para $g=5$, eles constroem explicitamente famílias de curvas supersingulares suaves que são revestimentos duplos de curvas elípticas, sugerindo que a dimensão esperada do lugar supersingular é 3.

4. Significância e Impacto

1. Resolução de Questões de Dimensão: O trabalho resolve a questão da pureza e dimensão esperada para a estratificação de p-rank em espaços de módulos de curvas bielípticas, generalizando resultados anteriores conhecidos para curvas hiperelípticas e curvas genéricas.
2. Conexão com a Conjectura de Oort: Os resultados têm implicações para a conjectura de Oort sobre grupos de automorfismos de pontos genéricos em lugares supersingulares. A análise de $B_4$ e $B_5$ fornece insights sobre a estrutura do lugar supersingular em dimensões mais altas.
3. Método de Fronteira: A técnica de usar a fronteira do espaço de módulos (curvas singulares) para inferir propriedades do interior (curvas suaves) através de argumentos de dimensão e pureza é demonstrada como uma ferramenta poderosa e robusta.
4. Construções Explícitas: A seção 5 fornece exemplos concretos e famílias uniparamétricas de curvas com p-rank baixo (incluindo supersingulares) via produtos fibrados, oferecendo ferramentas computacionais e teóricas para a construção de curvas com propriedades aritméticas específicas.
5. Limitações e Casos Especiais: O artigo identifica cuidadosamente exceções, como o caso $(3, 2, 0)$, onde a existência de curvas suaves falha devido à inexistência de curvas supersingulares suaves de gênero 2 em característica 3, demonstrando um entendimento profundo das nuances da teoria em característica positiva.

Em suma, o artigo estabelece uma compreensão completa da geometria da estratificação por p-rank para curvas bielípticas, unindo teoria de moduli, geometria algébrica e propriedades aritméticas de curvas em característica $p$.