Complete quasimaps to $\mathsf{Bl}_{\mathbb{P}^s}(\mathbb{P}^r)$

1. Enunciato del Problema e Motivazione

Il problema centrale affrontato è il calcolo dei gradi geometrici di Tevelev ($Tev_{g,n,\beta}^X$), che contano il numero di applicazioni $f: C \to X$ da una curva generale fissa $C$ di genere $g$ a una varietà target $X$, soggette a condizioni di incidenza $f(p_i) = x_i$ per $n$ punti generali.

• L'Ostacolo: Le compattificazioni tradizionali dello spazio dei moduli delle applicazioni, come lo spazio dei moduli delle applicazioni stabili ($\overline{M}_{g,n}(X, \beta)$) o le quasimappature ($Q_\beta(C, X)$), spesso non forniscono conteggi enumerativi. Sebbene permettano calcoli di teoria dell'intersezione, gli integrali risultanti producono tipicamente conteggi "virtuali". Questi conteggi virtuali includono contributi da applicazioni con domini singolari o applicazioni che degenerano in modi che non corrispondono a curve geometriche reali che soddisfano le condizioni di incidenza (intersezione eccessiva al bordo).
• L'Obiettivo: Gli autori mirano a costruire una specifica compattificazione dello spazio dei moduli delle applicazioni in cui l'intersezione dei cicli di incidenza è trasversale e supportata interamente sul luogo delle applicazioni oneste, non degeneri. Ciò permetterebbe ai numeri di intersezione tautologici di equivalere al conteggio geometrico effettivo delle curve.

La varietà target specifica studiata è lo scoppio dello spazio proiettivo lungo un sottospazio lineare:
$$X = Bl_s(\mathbb{P}^r)$$
dove $s \leq r-2$.

2. Metodologia e Costruzione

Gli autori propongono una costruzione basata sulle Quasimappature Complete, estendendo lavori precedenti sulle quasimappature verso $\mathbb{P}^r$ (Lian, 2024). La metodologia procede in tre fasi principali:

A. Quasimappature Aumentate e Inclusioni di Serie Lineari

Invece di iniziare con lo spazio standard delle quasimappature $Q_\beta(C, X)$, gli autori introducono uno spazio raffinato di quasimappature aumentate, denotato $Q^+_\beta(C, X)$.

• Geometria Sottostante: Una mappa non degenere $f: C \to X$ corrisponde a un'Inclusione di Serie Lineari (ILS). Specificamente, la mappa è determinata da un fascio di linee $L$ di grado $d$, un divisore efficace $D$ di grado $k$, e un'inclusione di sottospazi $V \subset W$ di sezioni, dove $W \subset H^0(C, L)$ ha dimensione $r+1$ e $V \subset H^0(C, L(-D))$ ha dimensione $r-s$.
• Lo Spazio: $Q^+_\beta(C, X)$ è costruito come un fascio proiettivo sullo spazio dei moduli di tali inclusioni, $Gr^{r-s-1}_{d,k}(C)$. È noto che questo spazio ha la dimensione attesa ed è puro.

B. La Strategia di Scoppio (Quasimappature Complete)

Lo spazio $Q^+_\beta(C, X)$ contiene ancora luoghi in cui le condizioni di incidenza non sono trasversali. Questi fallimenti si verificano in strati dove le sezioni che definiscono la mappa diventano linearmente dipendenti (bassa "bi-rank").

• Bi-rank: Definito come $(r_1, r_2) = (\dim \langle u_1, \dots, u_{r-s} \rangle, \dim \langle u_1, \dots, u_{r+1} \rangle)$.
• Costruzione: Gli autori definiscono lo spazio dei moduli delle quasimappature complete, $\widetilde{Q}_\beta(C, X)$, come uno scoppio iterato di $Q^+_\beta(C, X)$.
  • Gli scoppi sono eseguiti lungo le chiusure degli strati di quasimappature aumentate con bassa bi-rank, ordinati prima per $r_1$ e poi per $r_2$.
  • Questo processo risolve le intersezioni eccessive "espellendo" le componenti di dimensione maggiore del previsto, compattificando efficacemente lo spazio delle applicazioni non degeneri.

C. Luoghi di Incidenza

Gli autori definiscono i luoghi di incidenza $Inc(p, \Lambda) \subset \widetilde{Q}_\beta(C, X)$ come le trasformate proprie dei luoghi dove $f(p) \in \Lambda$ (per un sottospazio lineare $\Lambda \subset X$). La congettura centrale è che l'intersezione di $n$ tali luoghi di incidenza generali sia:

1. Genericamente liscia.
2. Pura della codimensione attesa.
3. Supportata interamente sul luogo aperto delle applicazioni oneste, non degeneri.

3. Contributi Chiave e Risultati

Congettura Principale

Congettura 1.1.2 / 2.7.3: Per $X = Bl_s(\mathbb{P}^r)$, il grado geometrico di Tevelev è dato dall'integrale del prodotto delle classi di incidenza sullo spazio dei moduli delle quasimappature complete:
$$Tev_{g,n,\beta}^X = \int_{\widetilde{Q}_\beta(C, X)} [Inc(p, x)]^n$$
Ciò vale purché $n \geq r+1$ (assicurando la non degenerazione).

Teorema 1.1.3 (Dimensione 2)

Gli autori dimostrano la congettura nel caso in cui $X = Bl_q(\mathbb{P}^2)$ (lo scoppio di $\mathbb{P}^2$ in un punto).

• Input Chiave: La dimostrazione si basa su un teorema di Brill-Noether per curve su superfici toriche (Teorema 4.1.1, dal loro lavoro precedente [CL25a]). Questo teorema garantisce che lo spazio dei moduli delle applicazioni verso certi scoppi torici di $\mathbb{P}^2$ sia genericamente liscio e della dimensione attesa, purché la curva immagine abbia un grado anti-canonicamente sufficientemente alto.
• Trasversalità: Analizzando gli strati dello scoppio (specificamente i luoghi di bi-rank $(1,1)$ e $(1,2)$) e utilizzando i risultati di Brill-Noether, dimostrano che i luoghi di incidenza si intersecano trasversalmente e non acquisiscono componenti eccessive al bordo.

Descrizioni Insiemistiche

Il documento fornisce descrizioni insiemistiche esplicite dei punti in $\widetilde{Q}_\beta(C, X)$ e dei luoghi di incidenza.

• I punti nei divisori eccezionali sono descritti tramite bi-collineazioni complete, una generalizzazione delle collineazioni complete. Queste coinvolgono sequenze di applicazioni lineari tra spazi vettoriali derivati dalle sezioni della mappa, risolvendo la degenerazione delle sezioni.
• Per $X = Bl_q(\mathbb{P}^2)$, gli autori caratterizzano esplicitamente l'intersezione dei luoghi di incidenza con il divisore eccezionale, mostrando come la "vanishing" delle sezioni nei punti marcati sia risolta dai dati dello scoppio.

Relazione con Altri Spazi dei Moduli

Gli autori confrontano $\widetilde{Q}_\beta(C, X)$ con:

1. Quasimappature Standard ($Q_\beta$): Queste possono avere componenti di dimensione inaspettata e classi virtuali che non corrispondono ai conteggi enumerativi.
2. Quasimappature Naive ($P$): Uno spazio utilizzato in lavori precedenti [CL23a] per calcoli di "grado elevato".

• Risultato: Nel regime di "grado elevato" ($n > d+1$), i numeri di intersezione su $\widetilde{Q}_\beta$, $Q^+_\beta$ e $P$ coincidono e sono enumerativi. Tuttavia, per piccoli $n$ (dove la trasversalità fallisce negli spazi standard), solo lo spazio delle quasimappature complete $\widetilde{Q}_\beta$ è previsto fornire il conteggio enumerativo corretto.

4. Significato e Direzioni Future

• Risoluzione dell'Intersezione Eccessiva: Il documento fornisce una costruzione geometrica concreta per risolvere il problema dell'"intersezione eccessiva" nella geometria enumerativa per gli scoppi degli spazi proiettivi. Si sposta oltre i conteggi virtuali verso conteggi geometrici effettivi per classi specifiche di target.
• Teoria di Brill-Noether: Il lavoro sottolinea la necessità di nuovi teoremi di Brill-Noether per applicazioni verso varietà toriche. La dimostrazione in dimensione 2 si basa su proprietà specifiche delle superfici; il caso generale richiede un analogo adatto per varietà toriche di dimensione superiore.
• Lavori Futuri:
  • Dimensioni Superiori: Gli autori identificano che dimostrare la congettura per $X = Bl_s(\mathbb{P}^r)$ con $r > 2$ richiede un "teorema di Brill-Noether puntato" per applicazioni verso varietà toriche di dimensione superiore (Domanda 5.2.2).
  • Calcoli: Sebbene l'esistenza dello spazio dei moduli e la trasversalità siano stabilite (in dim 2), il calcolo esplicito degli integrali (i gradi effettivi di Tevelev) è rinviato a lavori futuri, probabilmente utilizzando tecniche di degenerazione.

In sintesi, questo documento introduce uno spazio dei moduli robusto di quasimappature complete che funge da candidato per una compattificazione enumerativa "vera" per applicazioni verso scoppi di spazi proiettivi. Dimostra con successo questo risultato per le superfici sfruttando la teoria avanzata di Brill-Noether, offrendo una via per risolvere problemi simili in dimensioni superiori.