Complete quasimaps to $\mathsf{Bl}_{\mathbb{P}^s}(\mathbb{P}^r)$

1. Énoncé du problème et motivation

Le problème central abordé est le calcul des degrés géométriques de Tevelev ($Tev_{g,n,\beta}^X$), qui comptent le nombre d'applications $f: C \to X$ depuis une courbe générale fixe $C$ de genre $g$ vers une variété cible $X$, soumises à des conditions d'incidence $f(p_i) = x_i$ pour $n$ points généraux.

• L'obstacle : Les compactifications traditionnelles de l'espace de modules des applications, telles que l'espace de modules des applications stables ($\overline{M}_{g,n}(X, \beta)$) ou des quasimaps ($Q_\beta(C, X)$), échouent souvent à fournir des comptes énumératifs. Bien qu'elles permettent des calculs de théorie de l'intersection, les intégrales résultantes donnent généralement des comptes « virtuels ». Ces comptes virtuels incluent des contributions provenant d'applications à domaines singuliers ou d'applications qui dégénèrent de manière ne correspondant pas à des courbes géométriques réelles satisfaisant les conditions d'incidence (intersection excédentaire au bord).
• L'objectif : Les auteurs visent à construire une compactification spécifique de l'espace de modules des applications où l'intersection des cycles d'incidence est transverse et supportée entièrement sur le lieu des applications honnêtes et non dégénérées. Cela permettrait aux nombres d'intersection tautologiques d'être égaux au compte géométrique réel des courbes.

La variété cible spécifique étudiée est l'éclatement de l'espace projectif le long d'un sous-espace linéaire :
$$X = Bl_s(\mathbb{P}^r)$$
où $s \leq r-2$.

2. Méthodologie et construction

Les auteurs proposent une construction basée sur les quasimaps complets, étendant les travaux antérieurs sur les quasimaps vers $\mathbb{P}^r$ (Lian, 2024). La méthodologie procède en trois étapes principales :

A. Quasimaps augmentés et inclusions de séries linéaires

Au lieu de commencer par l'espace standard de quasimaps $Q_\beta(C, X)$, les auteurs introduisent un espace raffiné de quasimaps augmentés, noté $Q^+_\beta(C, X)$.

• Géométrie sous-jacente : Une application non dégénérée $f: C \to X$ correspond à une inclusion de séries linéaires (ILS). Plus précisément, l'application est déterminée par un fibré en droites $L$ de degré $d$, un diviseur effectif $D$ de degré $k$, et une inclusion de sous-espaces $V \subset W$ de sections, où $W \subset H^0(C, L)$ a pour dimension $r+1$ et $V \subset H^0(C, L(-D))$ a pour dimension $r-s$.
• L'espace : $Q^+_\beta(C, X)$ est construit comme un fibré projectif au-dessus de l'espace de modules de telles inclusions, $Gr^{r-s-1}_{d,k}(C)$. Cet espace est connu pour être de dimension attendue et pur.

B. La stratégie d'éclatement (quasimaps complets)

L'espace $Q^+_\beta(C, X)$ contient encore des lieux où les conditions d'incidence ne sont pas transverses. Ces échecs se produisent aux strates où les sections définissant l'application deviennent linéairement dépendantes (faible « bi-rang »).

• Bi-rang : Défini comme $(r_1, r_2) = (\dim \langle u_1, \dots, u_{r-s} \rangle, \dim \langle u_1, \dots, u_{r+1} \rangle)$.
• Construction : Les auteurs définissent l'espace de modules des quasimaps complets, $\widetilde{Q}_\beta(C, X)$, comme un éclatement itéré de $Q^+_\beta(C, X)$.
  • Les éclatements sont effectués le long des fermetures des strates de quasimaps augmentés à faible bi-rang, ordonnés d'abord par $r_1$ puis par $r_2$.
  • Ce processus résout les intersections excédentaires en « éclatant » les composantes de dimension plus grande que prévu hors de l'existence, compactifiant ainsi efficacement l'espace des applications non dégénérées.

C. Lieux d'incidence

Les auteurs définissent des lieux d'incidence $Inc(p, \Lambda) \subset \widetilde{Q}_\beta(C, X)$ comme les transformés propres des lieux où $f(p) \in \Lambda$ (pour un sous-espace linéaire $\Lambda \subset X$). La conjecture centrale est que l'intersection de $n$ tels lieux d'incidence généraux est :

1. Génériquement lisse.
2. Pure de codimension attendue.
3. Supportée entièrement sur le lieu ouvert des applications honnêtes et non dégénérées.

3. Contributions et résultats clés

Conjecture principale

Conjecture 1.1.2 / 2.7.3 : Pour $X = Bl_s(\mathbb{P}^r)$, le degré géométrique de Tevelev est donné par l'intégrale du produit des classes d'incidence sur l'espace de modules des quasimaps complets :
$$Tev_{g,n,\beta}^X = \int_{\widetilde{Q}_\beta(C, X)} [Inc(p, x)]^n$$
Ceci est valable pourvu que $n \geq r+1$ (assurant la non-dégénérescence).

Théorème 1.1.3 (Dimension 2)

Les auteurs prouvent la conjecture dans le cas où $X = Bl_q(\mathbb{P}^2)$ (l'éclatement de $\mathbb{P}^2$ en un point).

• Entrée clé : La preuve repose sur un théorème de Brill-Noether pour les courbes sur les surfaces toriques (Théorème 4.1.1, de leur travail antérieur [CL25a]). Ce théorème garantit que l'espace de modules des applications vers certaines éclatements toriques de $\mathbb{P}^2$ est génériquement lisse et de dimension attendue, pourvu que la courbe image ait un degré anti-canonique suffisamment élevé.
• Transversalité : En analysant les strates de l'éclatement (spécifiquement les lieux de bi-rang $(1,1)$ et $(1,2)$) et en utilisant les résultats de Brill-Noether, ils démontrent que les lieux d'incidence s'intersectent transversalement et n'acquièrent pas de composantes excédentaires au bord.

Descriptions ensemblistes

L'article fournit des descriptions ensemblistes explicites des points dans $\widetilde{Q}_\beta(C, X)$ et des lieux d'incidence.

• Les points dans les diviseurs exceptionnels sont décrits via des bi-collinéations complètes, une généralisation des collinéations complètes. Ceux-ci impliquent des séquences d'applications linéaires entre espaces vectoriels dérivés des sections de l'application, résolvant la dégénérescence des sections.
• Pour $X = Bl_q(\mathbb{P}^2)$, les auteurs caractérisent explicitement l'intersection des lieux d'incidence avec le diviseur exceptionnel, montrant comment la « disparition » des sections aux points marqués est résolue par les données d'éclatement.

Relation avec d'autres espaces de modules

Les auteurs comparent $\widetilde{Q}_\beta(C, X)$ avec :

1. Quasimaps standards ($Q_\beta$) : Ceux-ci peuvent avoir des composantes de dimension inattendue et des classes virtuelles qui ne correspondent pas aux comptes énumératifs.
2. Quasimaps naïfs ($P$) : Un espace utilisé dans des travaux antérieurs [CL23a] pour les calculs de « grand degré ».

• Résultat : Dans le régime de « grand degré » ($n > d+1$), les nombres d'intersection sur $\widetilde{Q}_\beta$, $Q^+_\beta$ et $P$ coïncident et sont énumératifs. Cependant, pour de petits $n$ (où la transversalité échoue dans les espaces standards), seul l'espace de quasimaps complets $\widetilde{Q}_\beta$ est attendu pour fournir le compte énumératif correct.

4. Signification et perspectives futures

• Résolution de l'intersection excédentaire : L'article fournit une construction géométrique concrète pour résoudre le problème de l'« intersection excédentaire » en géométrie énumérative pour les éclatements d'espaces projectifs. Il va au-delà des comptes virtuels pour atteindre des comptes géométriques réels pour certaines classes de cibles.
• Théorie de Brill-Noether : Le travail met en évidence la nécessité de nouveaux théorèmes de Brill-Noether pour les applications vers des variétés toriques. La preuve en dimension 2 repose sur des propriétés spécifiques des surfaces ; le cas général nécessite un analogue approprié pour les variétés toriques de dimension supérieure.
• Travaux futurs :
  • Dimensions supérieures : Les auteurs identifient que la preuve de la conjecture pour $X = Bl_s(\mathbb{P}^r)$ avec $r > 2$ nécessite un « théorème de Brill-Noether pointé » pour les applications vers des variétés toriques de dimension supérieure (Question 5.2.2).
  • Calculs : Bien que l'existence de l'espace de modules et la transversalité soient établies (en dim 2), le calcul explicite des intégrales (les degrés de Tevelev réels) est reporté à de futurs travaux, utilisant probablement des techniques de dégénérescence.

En résumé, cet article introduit un espace de modules robuste de quasimaps complets qui sert de candidat pour une compactification énumérative « vraie » des applications vers les éclatements d'espaces projectifs. Il prouve avec succès ce résultat pour les surfaces en tirant parti d'une théorie avancée de Brill-Noether, offrant une voie pour résoudre des problèmes similaires en dimensions supérieures.