Complete quasimaps to $\mathsf{Bl}_{\mathbb{P}^s}(\mathbb{P}^r)$

1. Formulação do Problema e Motivação

O problema central abordado é o cálculo dos graus de Tevelev geométricos ($Tev_{g,n,\beta}^X$), que contam o número de aplicações $f: C \to X$ de uma curva geral fixa $C$ de gênero $g$ para uma variedade alvo $X$, sujeitas a condições de incidência $f(p_i) = x_i$ para $n$ pontos gerais.

• O Obstáculo: Compactificações tradicionais do espaço de módulos de aplicações, como o espaço de módulos de aplicações estáveis ($\overline{M}_{g,n}(X, \beta)$) ou quasimapeamentos ($Q_\beta(C, X)$), frequentemente falham em fornecer contagens enumerativas. Embora permitam cálculos de teoria de interseção, as integrais resultantes tipicamente produzem contagens "virtuais". Essas contagens virtuais incluem contribuições de aplicações com domínios singulares ou aplicações que degeneram de maneiras que não correspondem a curvas geométricas reais satisfazendo as condições de incidência (interseção excessiva na fronteira).
• O Objetivo: Os autores visam construir uma compactificação específica do espaço de módulos de aplicações onde a interseção de ciclos de incidência seja transversal e suportada inteiramente no lugar de aplicações honestas e não degeneradas. Isso permitiria que os números de interseção tautológicos equivalessem à contagem geométrica real de curvas.

A variedade alvo específica estudada é o blow-up do espaço projetivo ao longo de um subespaço linear:
$$X = Bl_s(\mathbb{P}^r)$$
onde $s \leq r-2$.

2. Metodologia e Construção

Os autores propõem uma construção baseada em Quasimapeamentos Completos, estendendo trabalhos anteriores sobre quasimapeamentos para $\mathbb{P}^r$ (Lian, 2024). A metodologia procede em três etapas principais:

A. Quasimapeamentos Aumentados e Inclusões de Séries Lineares

Em vez de começar com o espaço de quasimapeamentos padrão $Q_\beta(C, X)$, os autores introduzem um espaço refinado de quasimapeamentos aumentados, denotado $Q^+_\beta(C, X)$.

• Geometria Subjacente: Uma aplicação não degenerada $f: C \to X$ corresponde a uma Inclusão de Séries Lineares (ILS). Especificamente, a aplicação é determinada por um fibrado de linha $L$ de grau $d$, um divisor efetivo $D$ de grau $k$, e uma inclusão de subespaço $V \subset W$ de seções, onde $W \subset H^0(C, L)$ tem dimensão $r+1$ e $V \subset H^0(C, L(-D))$ tem dimensão $r-s$.
• O Espaço: $Q^+_\beta(C, X)$ é construído como um fibrado projetivo sobre o espaço de módulos de tais inclusões, $Gr^{r-s-1}_{d,k}(C)$. Sabe-se que este espaço tem a dimensão esperada e é puro.

B. A Estratégia de Blow-up (Quasimapeamentos Completos)

O espaço $Q^+_\beta(C, X)$ ainda contém lugares onde as condições de incidência falham em ser transversais. Essas falhas ocorrem em estratos onde as seções que definem a aplicação tornam-se linearmente dependentes (baixo "bi-rank").

• Bi-rank: Definido como $(r_1, r_2) = (\dim \langle u_1, \dots, u_{r-s} \rangle, \dim \langle u_1, \dots, u_{r+1} \rangle)$.
• Construção: Os autores definem o espaço de módulos de quasimapeamentos completos, $\widetilde{Q}_\beta(C, X)$, como um blow-up iterado de $Q^+_\beta(C, X)$.
  • Os blow-ups são realizados ao longo dos fechos de estratos de quasimapeamentos aumentados com baixo bi-rank, ordenados primeiro por $r_1$ e depois por $r_2$.
  • Este processo resolve as interseções excessivas "explodindo" os componentes de dimensão maior do que o esperado para fora da existência, efetivamente compactificando o espaço de aplicações não degeneradas.

C. Lugares de Incidência

Os autores definem lugares de incidência $Inc(p, \Lambda) \subset \widetilde{Q}_\beta(C, X)$ como as transformadas próprias dos lugares onde $f(p) \in \Lambda$ (para um subespaço linear $\Lambda \subset X$). A conjectura central é que a interseção de $n$ tais lugares de incidência gerais é:

1. Genericamente suave.
2. Pura da codimensão esperada.
3. Suportada inteiramente no lugar aberto de aplicações honestas e não degeneradas.

3. Contribuições e Resultados Chave

Conjectura Principal

Conjectura 1.1.2 / 2.7.3: Para $X = Bl_s(\mathbb{P}^r)$, o grau de Tevelev geométrico é dado pela integral do produto das classes de incidência sobre o espaço de módulos de quasimapeamentos completos:
$$Tev_{g,n,\beta}^X = \int_{\widetilde{Q}_\beta(C, X)} [Inc(p, x)]^n$$
Isso vale desde que $n \geq r+1$ (assegurando não degenerescência).

Teorema 1.1.3 (Dimensão 2)

Os autores provam a conjectura no caso em que $X = Bl_q(\mathbb{P}^2)$ (o blow-up de $\mathbb{P}^2$ em um ponto).

• Entrada Chave: A prova depende de um teorema de Brill-Noether para curvas em superfícies toricas (Teorema 4.1.1, de seu trabalho anterior [CL25a]). Este teorema garante que o espaço de módulos de aplicações para certos blow-ups toricos de $\mathbb{P}^2$ é genericamente suave e tem a dimensão esperada, desde que a curva imagem tenha um grau anti-canônico suficientemente alto.
• Transversalidade: Ao analisar os estratos do blow-up (especificamente os lugares de bi-rank $(1,1)$ e $(1,2)$) e utilizando os resultados de Brill-Noether, eles demonstram que os lugares de incidência intersectam transversalmente e não adquirem componentes excessivos na fronteira.

Descrições Conjuntistas

O artigo fornece descrições conjuntistas explícitas dos pontos em $\widetilde{Q}_\beta(C, X)$ e dos lugares de incidência.

• Pontos nos divisores excepcionais são descritos via bi-colineações completas, uma generalização de colineações completas. Estas envolvem sequências de aplicações lineares entre espaços vetoriais derivados das seções da aplicação, resolvendo a degenerescência das seções.
• Para $X = Bl_q(\mathbb{P}^2)$, os autores caracterizam explicitamente a interseção dos lugares de incidência com o divisor excepcional, mostrando como o "desaparecimento" das seções nos pontos marcados é resolvido pelos dados do blow-up.

Relação com Outros Espaços de Módulos

Os autores comparam $\widetilde{Q}_\beta(C, X)$ com:

1. Quasimapeamentos Padrão ($Q_\beta$): Estes podem ter componentes de dimensão inesperada e classes virtuais que não correspondem a contagens enumerativas.
2. Quasimapeamentos Ingênuos ($P$): Um espaço usado em trabalhos anteriores [CL23a] para cálculos de "grau alto".

• Resultado: No regime de "grau alto" ($n > d+1$), os números de interseção em $\widetilde{Q}_\beta$, $Q^+_\beta$ e $P$ coincidem e são enumerativos. No entanto, para $n$ pequeno (onde a transversalidade falha em espaços padrão), apenas o espaço de quasimapeamentos completos $\widetilde{Q}_\beta$ é esperado para produzir a contagem enumerativa correta.

4. Significado e Direções Futuras

• Resolução de Interseção Excessiva: O artigo fornece uma construção geométrica concreta para resolver o problema de "interseção excessiva" na geometria enumerativa para blow-ups de espaços projetivos. Vai além das contagens virtuais para contagens geométricas reais para classes específicas de alvos.
• Teoria de Brill-Noether: O trabalho destaca a necessidade de novos teoremas de Brill-Noether para aplicações a variedades toricas. A prova em dimensão 2 depende de propriedades específicas de superfícies; o caso geral requer um análogo adequado para variedades toricas de dimensão superior.
• Trabalho Futuro:
  • Dimensões Superiores: Os autores identificam que provar a conjectura para $X = Bl_s(\mathbb{P}^r)$ com $r > 2$ requer um "teorema de Brill-Noether pontuado" para aplicações a variedades toricas de dimensão superior (Questão 5.2.2).
  • Cálculos: Embora a existência do espaço de módulos e a transversalidade estejam estabelecidas (em dimensão 2), o cálculo explícito das integrais (os graus de Tevelev reais) é adiado para trabalhos futuros, provavelmente utilizando técnicas de degeneração.

Em resumo, este artigo introduz um espaço de módulos robusto de quasimapeamentos completos que serve como candidato para uma compactificação enumerativa "verdadeira" para aplicações a blow-ups de espaços projetivos. Ele prova com sucesso isso para superfícies alavancando a teoria avançada de Brill-Noether, oferecendo um caminho para resolver problemas semelhantes em dimensões superiores.