Homogenization of elasto-plastic plate equations with vanishing hardening

Sintesi Tecnica: Omogeneizzazione delle Equazioni di Piastre Elasto-Plastiche con Incrudimento Vanishing

Enunciato del Problema
Questo lavoro indaga il comportamento asintotico di piastre eterogenee sottili elasto-plastiche nell'ambito della linearizzata elasto-plasticità. Lo studio si concentra su un regime limite specifico in cui lo spessore della piastra ($h$) tende a zero significativamente più velocemente della scala caratteristica della microstruttura periodica del materiale ($\varepsilon_h$), corrispondente al rapporto $\lim_{h \to 0} h/\varepsilon_h = 0$. L'obiettivo principale è derivare un modello di piastra efficace e omogeneizzato per materiali elasto-perfettamente plastici (dove l'incrudimento tende a zero) senza imporre ipotesi geometriche restrittive sulle superfici di snervamento ammissibili o un ordinamento specifico tra le fasi materiali.

Una sfida matematica critica affrontata è la definizione del potenziale di dissipazione alle interfacce tra diverse fasi materiali. In assenza di incrudimento, la deformazione plastica diventa una misura di Radon che può concentrarsi alle interfacce. Lavori precedenti (ad es. [4]) richiedevano vincoli geometrici restrittivi sulle superfici di snervamento per garantire la semicontinuità inferiore del potenziale di dissipazione in regimi estremi. Questo articolo mira a rimuovere tali vincoli e fornire una caratterizzazione rigorosa del funzionale di dissipazione alle interfacce di fase per materiali eterogenei generali.

Metodologia
L'analisi procede tramite un approccio evolutivo a due stadi di $\Gamma$-convergenza:

1. Ridimensionamento con Incrudimento: Gli autori derivano inizialmente un modello di piastra eterogeneo che include sia incrudimento isotropo che cinematico. Partendo da un modello tridimensionale elasto-plastico su un dominio sottile $\Omega_h$, eseguono una riduzione dimensionale a un modello di piastra bidimensionale. Questo passaggio utilizza la formulazione energetica dei sistemi indipendenti dal tasso, stabilendo l'esistenza e l'unicità delle evoluzioni quasistatiche. Il modello limite è caratterizzato da spostamenti di Kirchhoff–Love e tensori di elasticità ridotti, estendendo i modelli di piastra omogenei esistenti al contesto eterogeneo con incrudimento generale e potenziali di dissipazione.

2. Omogeneizzazione Simultanea e Incrudimento Vanishing: Nel secondo passaggio, gli autori fanno tendere simultaneamente i tensori di incrudimento a zero e la periodicità della microstruttura $\varepsilon$ a zero. Ciò comporta:

   • Convergenza a Due Scale: Utilizzo della convergenza a due scale e di tecniche di unfolding per i gradienti simmetrizzati di funzioni con deformazione limitata (BD) e per gli hessiani di funzioni con hessiano limitato (BH).
   • Compattezza e Semicontinuità Inferiore: Dimostrazione di risultati di compattezza per successioni di spostamenti e deformazioni. Una innovazione tecnica chiave è la derivazione di risultati di semicontinuità inferiore per il funzionale di dissipazione che non dipendono da un ordinamento specifico delle fasi.
   • Caratterizzazione dell'Interfaccia: Definizione del potenziale di dissipazione alle interfacce tra le fasi. Gli autori introducono una inf-convoluzione non locale delle tracce delle deformazioni plastiche da entrambi i lati dell'interfaccia. Questa struttura riflette la cinematica di Kirchhoff–Love, dove la misura della deformazione plastica si decompone in momenti di ordine zero e primo ordine.
   • Dualità Tensione-Deformazione: Invece di costruire sequenze di recupero per la stabilità globale (un metodo utilizzato in lavori precedenti come [3, 4]), gli autori impiegano un approccio tensione-deformazione. Definendo un insieme di tensioni limite ammissibili a due scale e dimostrando un limite inferiore per il funzionale di dissipazione plastica utilizzando argomenti di dualità sulla cella periodica $I \times Y$. Ciò consente di stabilire direttamente la stabilità globale per il modello limite.

Contributi Chiave

• Modello di Piastra Eterogeneo Generalizzato: L'articolo generalizza il modello di piastra ottenuto in [27] al caso eterogeneo, accommodando sia incrudimento isotropo che cinematico senza assumere forme specifiche per il potenziale di dissipazione o i tensori di incrudimento.
• Rimozione dei Vincoli Geometrici: A differenza delle analisi precedenti dei regimi estremi ($\gamma=0$ e $\gamma=+\infty$) in [4], questo lavoro deriva il modello limite senza imporre vincoli geometrici restrittivi sulle superfici di snervamento ammissibili.
• Caratterizzazione della Dissipazione all'Interfaccia: L'articolo fornisce una definizione rigorosa del funzionale di dissipazione alle interfacce di fase per materiali elasto-perfettamente plastici. Il funzionale risultante è una inf-convoluzione non locale delle tracce delle deformazioni plastiche, che tiene specificamente conto della struttura di rango uno ereditata dall'ipotesi di spostamento di Kirchhoff–Love.
• Approccio Tensione-Deformazione per la Stabilità: Gli autori dimostrano che la stabilità globale del modello limite può essere provata tramite un approccio di dualità tensione-deformazione (introdotto in [19] ed esteso in [3, 4]), bypassando la necessità di costruzioni esplicite di sequenze di recupero per la stabilità, il che semplifica l'analisi in presenza di condizioni di interfaccia complesse.

Risultati Principali
Il risultato principale è il Teorema 4.40, che stabilisce la convergenza delle evoluzioni quasistatiche delle piastre eterogenee con incrudimento verso un'evoluzione quasistatica limite a due scale nel contesto della plasticità perfetta.

• Convergenza: La successione di spostamenti, deformazioni elastiche e deformazioni plastiche converge (debolmente* o debolmente* a due scale) a una configurazione limite $(u, E, P)$.
• Modello Limite: Il modello limite è un modello di piastra elasto-perfettamente plastica a due scale. La deformazione plastica $P$ è una misura su $\Omega \times Y$ che soddisfa una struttura specifica che coinvolge spazi di correttore $X_0(\omega)$ e $\Upsilon_0(\omega)$.
• Bilancio Energetico: L'evoluzione limite soddisfa un'equazione di bilancio energetico che coinvolge l'energia elastica omogeneizzata e il nuovo funzionale di dissipazione definito $R^{\text{hom}}_0$.
• Regolarità: Il Corollario 4.41 stabilisce che la soluzione limite è assolutamente continua nel tempo e che la convergenza delle deformazioni elastiche è forte.

Significato e Affermazioni
Gli autori affermano che il loro approccio consente la derivazione del modello limite e la definizione appropriata del potenziale di dissipazione all'interfaccia di diverse fasi, una caratteristica non presente in lavori precedenti come [4] che si basavano sull'porre il potenziale di dissipazione "più morbido" all'interfaccia. Il funzionale di dissipazione risultante assume la forma di una inf-convoluzione non locale, riflettendo i vincoli cinematici specifici della piastra.

L'articolo nota che, sebbene i risultati siano derivati riducendo prima la dimensione e poi omogeneizzando, ci si aspetta che lo stesso modello possa essere ottenuto facendo tendere simultaneamente l'incrudimento, lo spessore della piastra e le oscillazioni materiali a zero dalle equazioni tridimensionali, almeno in regimi dove l'incrudimento non è troppo piccolo rispetto allo spessore. Il lavoro sottolinea inoltre che il modello di piastra omogeneizzato derivato con incrudimento non vanishing è un sottoprodotto dell'analisi, rappresentando un risultato precedentemente non presente nella letteratura.

La metodologia si basa pesantemente su strumenti dell'analisi convessa delle misure, sulla disintegrazione delle misure di Radon e sulla $\Gamma$-convergenza evolutiva, costruendo sui lavori fondamentali citati nell'introduzione (ad es. [3, 4, 9, 12, 19, 29]).