Homogenization of elasto-plastic plate equations with vanishing hardening

Technische Samenvatting: Homogenisatie van Elasto-Plastische Plaatvergelijkingen met Verdwijnende Hardening

Probleemstelling
Dit werk onderzoekt het asymptotische gedrag van dunne heterogene elastoplastische platen binnen het kader van de gelijneerde elastoplastische theorie. De studie richt zich op een specifiek limietregime waarbij de plaatdikte ($h$) aanzienlijk sneller verdwijnt dan de karakteristieke schaal van de periodieke microstructuur van het materiaal ($\varepsilon_h$), wat overeenkomt met de verhouding $\lim_{h \to 0} h/\varepsilon_h = 0$. Het primaire doel is het afleiden van een effectief, gehomogeniseerd plaatmodel voor elasto-perfect plastische materialen (waarbij de hardening naar nul neigt), zonder restrictieve geometrische aannames op de toelaatbare vloeigrenzen of een specifieke ordening tussen materiaalfasen op te leggen.

Een kritieke wiskundige uitdaging die wordt aangepakt, is de definitie van het dissipatiepotentiaal aan de interfaces tussen verschillende materiaalfasen. Bij afwezigheid van hardening wordt de plastische rek een Radon-maat dat zich kan concentreren aan interfaces. Eerdere werken (bijv. [4]) vereisten restrictieve geometrische beperkingen op vloeigrenzen om de onderhelftsgeslotenheid van het dissipatiepotentiaal in extreme regimes te waarborgen. Dit artikel heeft tot doel dergelijke beperkingen te verwijderen en een rigoureuze karakterisering te bieden van het dissipatiefunctionaal aan fasegrenzen voor algemene heterogene materialen.

Methodologie
De analyse verloopt via een tweestaps evolutionaire $\Gamma$-convergentiebenadering:

1. Dimensiereductie met Hardening: De auteurs leiden eerst een heterogeen plaatmodel af dat zowel isotrope als kinematische hardening omvat. Uitgaande van een driedimensionaal elasto-plastisch model op een dun domein $\Omega_h$, voeren zij een dimensiereductie uit naar een tweedimensionaal plaatmodel. Deze stap maakt gebruik van de energetische formulering van snelheidsonafhankelijke systemen, waarbij het bestaan en de uniciteit van quasistatische evoluties worden vastgesteld. Het limietmodel wordt gekenmerkt door Kirchhoff–Love-verplaatsingen en gereduceerde elasticiteitstensors, waarmee bestaande homogene plaatmodellen worden uitgebreid naar de heterogene setting met algemene hardening en dissipatiepotentialen.

2. Simultane Homogenisatie en Verdwijnende Hardening: In de tweede stap laten de auteurs gelijktijdig de hardeningstensors naar nul gaan en de periodieke microstructuur $\varepsilon$ naar nul gaan. Dit omvat:

   • Tweeschaalconvergentie: Het gebruik van tweeschaalconvergentie en ontvouwtechnieken voor gesymmetriseerde gradiënten van functies met begrensde vervorming (BD) en Hessiaanse van functies met begrensde Hessiaan (BH).
   • Compactheid en Onderhelftsgeslotenheid: Het bewijzen van compactheidsresultaten voor rijen van verplaatsingen en rekken. Een belangrijke technische innovatie is de afleiding van onderhelftsgeslotenheidsresultaten voor het dissipatiefunctionaal die niet afhankelijk zijn van een specifieke fasenordening.
   • Karakterisering van Interfaces: Het definiëren van het dissipatiepotentiaal aan de interfaces tussen fasen. De auteurs introduceren een niet-lokale inf-convolutie van de sporen van plastische rekken aan beide zijden van de interface. Deze structuur weerspiegelt de Kirchhoff–Love-kinematica, waarbij het maat van de plastische rek wordt ontbonden in momenten van de nulde en eerste orde.
   • Spanning-Rek Dualiteit: In plaats van herstelrijen voor globale stabiliteit te construeren (een methode die in eerdere werken zoals [3, 4] werd gebruikt), hanteren de auteurs een spanning-rek-benadering. Zij definiëren een set van toelaatbare tweeschaal-limietspanningen en bewijzen een ondergrens voor het plastische dissipatiefunctionaal met behulp van dualiteitsargumenten op de periodieke cel $I \times Y$. Dit stelt hen in staat om globale stabiliteit voor het limietmodel direct vast te stellen.

Belangrijkste Bijdragen

• Gegenereerd Heterogeen Plaatmodel: Het artikel generaliseert het in [27] verkregen plaatmodel naar het heterogene geval, waarbij zowel isotrope als kinematische hardening wordt opgenomen zonder specifieke vormen voor het dissipatiepotentiaal of hardeningstensors aan te nemen.
• Verwijdering van Geometrische Beperkingen: In tegenstelling tot eerdere analyses van de extreme regimes ($\gamma=0$ en $\gamma=+\infty$) in [4], leidt dit werk het limietmodel af zonder restrictieve geometrische beperkingen op toelaatbare vloeigrenzen op te leggen.
• Karakterisering van Interface-Dissipatie: Het artikel biedt een rigoureuze definitie van het dissipatiefunctionaal aan fasegrenzen voor elasto-perfect plastische materialen. Het resulterende functionaal is een niet-lokale inf-convolutie van de sporen van plastische rekken, die specifiek rekening houdt met de rang-éénstructuur die wordt overgeërfd van de Kirchhoff–Love-verplaatsingsaanname.
• Spanning-Rek Benadering voor Stabiliteit: De auteurs tonen aan dat de globale stabiliteit van het limietmodel kan worden bewezen via een spanning-rek dualiteitsbenadering (geïntroduceerd in [19] en uitgebreid in [3, 4]), waarbij de noodzaak voor expliciete constructies van herstelrijen voor stabiliteit wordt omzeild, wat de analyse vereenvoudigt in aanwezigheid van complexe interfacecondities.

Hoofdresultaten
Het primaire resultaat is Stelling 4.40, die de convergentie vaststelt van de quasistatische evoluties van de heterogene platen met hardening naar een limiterende tweeschaal-quasistatische evolutie in de context van perfecte plasticiteit.

• Convergentie: De rij van verplaatsingen, elastische rekken en plastische rekken convergeert (zwak* of tweeschaal zwak*) naar een limietconfiguratie $(u, E, P)$.
• Limietmodel: Het limietmodel is een tweeschaal elasto-perfect plastisch plaatmodel. De plastische rek $P$ is een maat op $\Omega \times Y$ dat voldoet aan een specifieke structuur die correctorruimtes $X_0(\omega)$ en $\Upsilon_0(\omega)$ omvat.
• Energiebalans: De limiet-evolutie voldoet aan een energiebalansvergelijking die de gehomogeniseerde elastische energie en het nieuw gedefinieerde dissipatiefunctionaal $R^{\text{hom}}_0$ omvat.
• Regulariteit: Corollarium 4.41 stelt vast dat de limietoplossing absoluut continu is in de tijd en dat de convergentie van de elastische rekken sterk is.

Betekenis en Aanspraken
De auteurs beweren dat hun benadering het mogelijk maakt om het limietmodel af te leiden en de passende definitie van het dissipatiepotentiaal aan de interface van verschillende fasen te geven, een kenmerk dat niet aanwezig was in eerdere werken zoals [4], die leunden op het plaatsen van het "zachtere" dissipatiepotentiaal aan de interface. Het resulterende dissipatiefunctionaal neemt de vorm aan van een niet-lokale inf-convolutie, wat de specifieke kinematische beperkingen van de plaat weerspiegelt.

Het artikel merkt op dat hoewel de resultaten worden afgeleid door eerst de dimensie te reduceren en vervolgens te homogeniseren, wordt verwacht dat hetzelfde model kan worden verkregen door gelijktijdig de hardening, de plaatdikte en de materiaalosillaties naar nul te laten gaan vanuit de driedimensionale vergelijkingen, althans in regimes waar de hardening niet te klein is ten opzichte van de dikte. Het werk benadrukt ook dat het afgeleide gehomogeniseerde plaatmodel met niet-verdwijnende hardening een bijproduct is van de analyse, en een resultaat vertegenwoordigt dat eerder niet in de literatuur aanwezig was.

De methodologie leunt zwaar op hulpmiddelen uit de convexanalyse van maten, disintegratie van Radon-maten en evolutionaire $\Gamma$-convergentie, voortbouwend op de fundamentele werken die in de inleiding worden geciteerd (bijv. [3, 4, 9, 12, 19, 29]).