Homogenization of elasto-plastic plate equations with vanishing hardening

Résumé technique : Homogénéisation des équations de plaques élastoplastiques avec écrouissage tendant vers zéro

Énoncé du problème
Ce travail étudie le comportement asymptotique de plaques élastoplastiques minces hétérogènes dans le cadre de l'élastoplasticité linéarisée. L'étude se concentre sur un régime limite spécifique où l'épaisseur de la plaque ($h$) tend vers zéro beaucoup plus rapidement que l'échelle caractéristique de la microstructure périodique du matériau ($\varepsilon_h$), correspondant au rapport $\lim_{h \to 0} h/\varepsilon_h = 0$. L'objectif principal est de dériver un modèle de plaque effectif et homogénéisé pour des matériaux élasto-parfaitement plastiques (où l'écrouissage tend vers zéro) sans imposer d'hypothèses géométriques restrictives sur les surfaces de plasticité admissibles ni d'ordre spécifique entre les phases matérielles.

Un défi mathématique critique abordé est la définition du potentiel de dissipation aux interfaces entre différentes phases matérielles. En l'absence d'écrouissage, la déformation plastique devient une mesure de Radon qui peut se concentrer aux interfaces. Des travaux antérieurs (par exemple [4]) nécessitaient des contraintes géométriques restrictives sur les surfaces de plasticité pour assurer la semi-continuité inférieure du potentiel de dissipation dans des régimes extrêmes. Cet article vise à supprimer de telles contraintes et à fournir une caractérisation rigoureuse de la fonctionnelle de dissipation aux interfaces de phases pour des matériaux hétérogènes généraux.

Méthodologie
L'analyse procède via une approche de $\Gamma$-convergence évolutive en deux étapes :

1. Réduction de dimension avec écrouissage : Les auteurs dérivent d'abord un modèle de plaque hétérogène incluant à la fois l'écrouissage isotrope et cinématique. Partant d'un modèle tridimensionnel élastoplastique sur un domaine mince $\Omega_h$, ils effectuent une réduction de dimension vers un modèle de plaque bidimensionnel. Cette étape utilise la formulation énergétique des systèmes indépendants du temps, établissant l'existence et l'unicité des évolutions quasi-statiques. Le modèle limite est caractérisé par des déplacements de Kirchhoff–Love et des tenseurs d'élasticité réduits, étendant les modèles de plaque homogènes existants au cadre hétérogène avec écrouissage et potentiels de dissipation généraux.

2. Homogénéisation simultanée et écrouissage tendant vers zéro : Dans la deuxième étape, les auteurs font tendre simultanément les tenseurs d'écrouissage vers zéro et la périodicité de la microstructure $\varepsilon$ vers zéro. Cela implique :

   • Convergence à deux échelles : Utilisation de la convergence à deux échelles et de techniques de déploiement pour les gradients symétrisés de fonctions à déformation bornée (BD) et les Hessiens de fonctions à Hessien borné (BH).
   • Compacité et semi-continuité inférieure : Preuve de résultats de compacité pour des suites de déplacements et de déformations. Une innovation technique clé est la dérivation de résultats de semi-continuité inférieure pour la fonctionnelle de dissipation qui ne reposent pas sur un ordre spécifique des phases.
   • Caractérisation de l'interface : Définition du potentiel de dissipation aux interfaces entre les phases. Les auteurs introduisent une inf-convolution non locale des traces des déformations plastiques des deux côtés de l'interface. Cette structure reflète la cinématique de Kirchhoff–Love, où la mesure de déformation plastique se décompose en moments d'ordre zéro et d'ordre un.
   • Dualité contrainte-déformation : Au lieu de construire des suites de récupération pour la stabilité globale (une méthode utilisée dans des travaux antérieurs comme [3, 4]), les auteurs emploient une approche contrainte-déformation. Ils définissent un ensemble de contraintes limites à deux échelles admissibles et prouvent une borne inférieure pour la fonctionnelle de dissipation plastique en utilisant des arguments de dualité sur la cellule périodique $I \times Y$. Cela leur permet d'établir directement la stabilité globale pour le modèle limite.

Contributions principales

• Modèle de plaque hétérogène généralisé : L'article généralise le modèle de plaque obtenu dans [27] au cas hétérogène, accommodant à la fois l'écrouissage isotrope et cinématique sans supposer de formes spécifiques pour le potentiel de dissipation ou les tenseurs d'écrouissage.
• Suppression des contraintes géométriques : Contrairement aux analyses précédentes des régimes extrêmes ($\gamma=0$ et $\gamma=+\infty$) dans [4], ce travail dérive le modèle limite sans imposer de contraintes géométriques restrictives sur les surfaces de plasticité admissibles.
• Caractérisation de la dissipation d'interface : L'article fournit une définition rigoureuse de la fonctionnelle de dissipation aux interfaces de phases pour des matériaux élasto-parfaitement plastiques. La fonctionnelle résultante est une inf-convolution non locale des traces des déformations plastiques, tenant spécifiquement compte de la structure de rang un héritée de l'hypothèse de déplacement de Kirchhoff–Love.
• Approche contrainte-déformation pour la stabilité : Les auteurs démontrent que la stabilité globale du modèle limite peut être prouvée via une approche de dualité contrainte-déformation (introduite dans [19] et étendue dans [3, 4]), évitant ainsi la nécessité de constructions explicites de suites de récupération pour la stabilité, ce qui simplifie l'analyse en présence de conditions d'interface complexes.

Résultats principaux
Le résultat principal est le Théorème 4.40, qui établit la convergence des évolutions quasi-statiques des plaques hétérogènes avec écrouissage vers une évolution quasi-statique limite à deux échelles dans le contexte de la plasticité parfaite.

• Convergence : La suite des déplacements, des déformations élastiques et des déformations plastiques converge (faiblement* ou faiblement* à deux échelles) vers une configuration limite $(u, E, P)$.
• Modèle limite : Le modèle limite est un modèle de plaque élasto-parfaitement plastique à deux échelles. La déformation plastique $P$ est une mesure sur $\Omega \times Y$ qui satisfait une structure spécifique impliquant des espaces de correcteurs $X_0(\omega)$ et $\Upsilon_0(\omega)$.
• Bilan énergétique : L'évolution limite satisfait une équation de bilan énergétique impliquant l'énergie élastique homogénéisée et la nouvelle fonctionnelle de dissipation $R^{\text{hom}}_0$.
• Régularité : Le Corollaire 4.41 établit que la solution limite est absolument continue en temps et que la convergence des déformations élastiques est forte.

Portée et affirmations
Les auteurs affirment que leur approche permet de dériver le modèle limite et la définition appropriée du potentiel de dissipation à l'interface de différentes phases, une caractéristique absente des travaux antérieurs comme [4] qui reposaient sur le placement du potentiel de dissipation « plus mou » à l'interface. La fonctionnelle de dissipation résultante prend la forme d'une inf-convolution non locale, reflétant les contraintes cinématiques spécifiques de la plaque.

L'article note que bien que les résultats soient dérivés en réduisant d'abord la dimension puis en homogénéisant, il est attendu que le même modèle puisse être obtenu en faisant tendre simultanément l'écrouissage, l'épaisseur de la plaque et les oscillations matérielles vers zéro à partir des équations tridimensionnelles, du moins dans des régimes où l'écrouissage n'est pas trop faible par rapport à l'épaisseur. Le travail souligne également que le modèle de plaque homogénéisé dérivé avec un écrouissage non nul est un sous-produit de l'analyse, représentant un résultat précédemment absent de la littérature.

La méthodologie repose fortement sur des outils de l'analyse convexe des mesures, de la désintégration des mesures de Radon et de la $\Gamma$-convergence évolutive, s'appuyant sur les travaux fondateurs cités dans l'introduction (par exemple [3, 4, 9, 12, 19, 29]).