On the connectedness of the singular set of holomorphic foliations

1. Il Problema e il Contesto

Il lavoro si inserisce nel campo della geometria complessa e della topologia delle varietà proiettive, affrontando il problema della integrabilità delle distribuzioni olomorfe singolari.

• Contesto storico: Negli anni '60, Raoul Bott dimostrò che vincoli topologici (tramite il teorema di vanishing delle classi di Chern) possono ostacolare l'esistenza di strutture fogliate globalmente integrabili.
• La questione aperta: Esistono distribuzioni olomorfe di dimensione $k > 1$ su $\mathbb{P}^n$ (per $n \ge 3$) il cui insieme singolare contiene diverse componenti connesse di dimensione $k-1$. La domanda fondamentale è: tali distribuzioni possono essere integrabili (cioè essere fogliature)?
• Domanda specifica: Il lavoro risponde a una domanda posta da D. Cerveau riguardante le fogliature di codimensione 1 su $\mathbb{P}^3$, chiedendo se l'insieme singolare di dimensione massima debba essere connesso sotto certe condizioni.

2. Metodologia

Gli autori utilizzano un approccio che combina la topologia algebrica e la teoria delle residui di Baum-Bott.

• Strumenti principali:
  • Residui di Baum-Bott: Vengono utilizzati per localizzare le classi di Chern del fascio normale $N_F$ sulle componenti connesse dell'insieme singolare.
  • Dualità di Poincaré e Alexander: La prova trasforma i residui, inizialmente definiti in omologia, in coomologia per sfruttare le proprietà globali della varietà.
  • Ipotesi di Ampiezza: Si assume che il fascio determinante del fascio normale, $\det(N_F)$, sia ampio. Questa è un'ipotesi cruciale che permette di derivare contraddizioni se l'insieme singolare non è connesso.
• Strategia della dimostrazione:
  1. Si considera l'insieme singolare $Sing(F)$ e si isola la parte $Z$ di dimensione massima $k-1$, scomposta in componenti connesse $Z_1, \dots, Z_s$.
  2. Si calcolano i residui di Baum-Bott localizzati su ciascuna $Z_i$.
  3. Si dimostra che, sotto l'ipotesi di ampiezza di $\det(N_F)$, il residuo su ogni componente $Z_i$ deve essere uguale al numero di Chern totale della varietà.
  4. Poiché la somma dei residui deve coincidere con il numero totale, ne consegue che non può esserci più di una componente ($s=1$).

3. Risultati Principali

Teorema 1 (Il risultato centrale)

Sia $X$ una varietà proiettiva di dimensione $n$ e $F$ una fogliatura olomorfa singolare di dimensione $k > 1$.

• Ipotesi: Il fascio determinante $\det(N_F)$ è ampio e l'insieme singolare $Sing(F)$ ha dimensione $\le k-1$.
• Conclusione: L'unione delle componenti irriducibili di $Sing(F)$ di dimensione esattamente $k-1$ è necessariamente connessa.
• Significato: Questo fornisce un ostacolo topologico globale all'integrabilità. Se una distribuzione ha un insieme singolare di dimensione $k-1$ non connesso, non può essere integrabile (non può essere una fogliatura).

Corollario 1 (Ostacoli per fasci riflessivi)

Per una fogliatura di codimensione 1 su una varietà proiettiva liscia tridimensionale $X$ (con $h^1(\mathcal{O}_X)=0$):

• Se il fascio tangente è localmente libero lungo le componenti unidimensionali dell'insieme singolare $C$, e se $\det(N_F)$ è ampio, allora il numero di singolarità isolate (contate con molteplicità) è dato da una formula che coinvolge le coomologie del fascio tangente e il numero di Chern $c_3(F)$.
• In particolare, su $\mathbb{P}^3$, se il fascio tangente è localmente libero, si ottiene una condizione di annullamento ($h^2(F \otimes \det(N_F)^*) = 0$) che ostacola l'esistenza di tali fogliature, a meno che non siano "fasci di piani".

Corollario 2 (Caso specifico su $\mathbb{P}^3$)

Sia $F$ una fogliatura di codimensione 1 su $\mathbb{P}^3$.

• Se il fascio tangente di $F$ è localmente libero, allora o $F$ è un fascio di piani (caso banale) oppure l'insieme singolare $Sing(F)$ è una curva singolare.
• Questo risponde positivamente alla domanda di Cerveau: non esistono fogliature su $\mathbb{P}^3$ con fascio tangente localmente libero e insieme singolare una curva lissa (a meno che non siano fasci di piani).

4. Esempi e Sharpness (Affilatura dei risultati)

Gli autori dimostrano che tutte le ipotesi del Teorema 1 sono necessarie fornendo controesempi:

• Non proiettività: Su varietà non proiettive (es. varietà di Hopf), l'insieme singolare può essere non connesso.
• Mancanza di ampiezza: Su prodotti di varietà o in casi dove $\det(N_F)$ non è ampio, si possono costruire fogliature con insiemi singolari disgiunti.
• Dimensione $k=1$: Il teorema non vale per $k=1$ (fogliature per curve), poiché esistono esempi su $\mathbb{P}^3$ con insiemi singolari composti da rette sghembe.
• Regime dimensionale: Si nota che se $n \le 2(k-1)$, la connessività è automatica per motivi di intersezione in $\mathbb{P}^n$ (due varietà di dimensione $k-1$ devono intersecarsi). Il teorema è non banale solo quando $n > 2k-2$.

5. Significato e Impatto

• Ostacolo Topologico: Il lavoro estende il "fenomeno di Bott" fornendo un nuovo tipo di ostacolo topologico: la connessività dell'insieme singolare è una condizione necessaria per l'integrabilità sotto ipotesi di ampiezza.
• Risoluzione di problemi aperti: Risolve la questione posta da Cerveau per le fogliature su $\mathbb{P}^3$, stabilendo che il fascio tangente localmente libero implica una singolarità della curva singolare.
• Struttura delle distribuzioni: Fornisce una classificazione più fine delle distribuzioni olomorfe, distinguendo tra quelle che possono essere integrabili e quelle che, pur avendo la stessa struttura locale, falliscono globalmente a causa della topologia del loro insieme singolare.
• Connessione con la geometria algebrica: Il risultato collega profondamente le proprietà locali (comportamento dei residui) con le proprietà globali (ampiezza dei fibrati, classi di Chern) in modo quantitativo.

In sintesi, il paper stabilisce che per le fogliature olomorfe singolari su varietà proiettive con fascio normale "abbastanza positivo" (ampio), la topologia dell'insieme singolare è rigidamente vincolata: le componenti di massima dimensione non possono essere separate, offrendo un potente criterio di non-integrabilità per distribuzioni con topologia singolare complessa.