On the connectedness of the singular set of holomorphic foliations

1. Problema y Contexto

El artículo aborda un problema fundamental en la geometría compleja y la teoría de foliaciones: la obstrucción topológica a la integrabilidad de distribuciones holomorfas singulares.

• Contexto: En la década de 1960, Raoul Bott demostró que existen restricciones topológicas (teorema de vanishing de Bott) que impiden la existencia de estructuras foliadas globalmente integrables en ciertas variedades.
• La Pregunta: ¿Existen obstrucciones globales similares para distribuciones holomorfas singulares (que no son necesariamente integrables) en variedades proyectivas? Específicamente, los autores investigan la estructura del conjunto singular ($Sing(\mathcal{F})$) de una foliación holomorfa $\mathcal{F}$ de dimensión $k > 1$ en una variedad proyectiva $X$ de dimensión $n$.
• El Enfoque de Cerveau: El trabajo responde a una pregunta planteada por D. Cerveau sobre foliaciones de codimensión uno en $\mathbb{P}^3$, preguntando si las componentes de dimensión $k-1$ del conjunto singular deben ser necesariamente conexas bajo ciertas condiciones de amplitud.

2. Metodología

La prueba se basa en una combinación sofisticada de topología algebraica, teoría de intersección y la teoría de residuos de Baum-Bott.

1. Residuos de Baum-Bott: Los autores utilizan la fórmula de Baum-Bott, que relaciona los números de Chern del haz normal ($N_{\mathcal{F}}$) con residuos localizados en las componentes conexas del conjunto singular.
   • Sea $Z$ la unión de las componentes irreducibles de $Sing(\mathcal{F})$ de dimensión exacta $k-1$.
   • El número de Chern $c_1(N_{\mathcal{F}})^{n-k+1}[X]$ se descompone como una suma de residuos localizados en cada componente conexa $Z_i$ de $Z$.
2. Condición de Amplitud: Se asume que el haz determinante del haz normal, $\det(N_{\mathcal{F}})$, es ample (amplio). Esta es una hipótesis crucial que permite controlar el comportamiento global de los residuos.
3. Análisis de Cohomología:
   • Se consideran entornos regulares disjuntos $U_i$ alrededor de cada componente conexa $Z_i$.
   • Mediante dualidad de Poincaré y Alexander, los residuos locales se elevan a clases de cohomología en $X$.
   • Se demuestra que, bajo la hipótesis de amplitud, el residuo en cada componente $Z_i$ es igual al número de Chern total $c_1(N_{\mathcal{F}})^{n-k+1} \cap [X]$.
4. Argumento de Conteo:
   • Si hubiera $s$ componentes conexas ($Z = \bigcup_{i=1}^s Z_i$), la suma de los residuos sería $s \times (\text{valor total})$.
   • Dado que el valor total es no nulo debido a la amplitud, la única solución posible es $s=1$.

3. Contribuciones Clave y Resultados Principales

Teorema Principal (Teorema 1)

Sea $X$ una variedad proyectiva de dimensión $n$ y $\mathcal{F}$ una foliación holomorfa singular de dimensión $k > 1$. Si el haz determinante $\det(N_{\mathcal{F}})$ es ample y el conjunto singular tiene dimensión $\leq k-1$, entonces:

La unión de las componentes irreducibles de $Sing(\mathcal{F})$ de dimensión exactamente $k-1$ es un conjunto conexo.

• Sharpness (Agudeza): Los autores demuestran que todas las hipótesis son necesarias. Si $\det(N_{\mathcal{F}})$ no es ample, o si $k=1$, el teorema falla (se proporcionan contraejemplos en la Sección 4, como foliaciones en productos de variedades o en variedades de Hopf).
• Caso $\mathbb{P}^n$: En espacios proyectivos, el haz normal de cualquier foliación holomorfa tiene un determinante ample. Por lo tanto, el teorema responde afirmativamente a la pregunta de Cerveau para foliaciones de dimensión 2 en $\mathbb{P}^3$.

Corolarios y Obstrucciones a la Integrabilidad

1. Corolario 1 (Obstrucción para haces reflexivos):
   Proporciona una condición topológica para que un haz reflexivo de rango 2 sea el haz tangente de una foliación en una 3-variedad proyectiva. Si se cumplen ciertas condiciones de cohomología y amplitud, el número de singularidades aisladas está determinado por una fórmula que involucra $c_3(\mathcal{F})$. Esto genera una obstrucción: si el haz tangente es localmente libre (sin singularidades en codimensión 1), ciertas cohomologías deben anularse, lo cual a menudo no ocurre, impidiendo la integrabilidad.

2. Corolario 2 (Foliaciones en $\mathbb{P}^3$):
   Para una foliación de codimensión uno en $\mathbb{P}^3$ con haz tangente localmente libre:

   • O bien es un "pincel de planos" (caso trivial).
   • O bien su conjunto singular $Sing(\mathcal{F})$ es una curva singular.
   • Esto refuta la posibilidad de que existan foliaciones integrables con haz tangente localmente libre y conjunto singular suave (no singular), a menos que sean pinceles de planos.

4. Significado e Impacto

• Obstrucción Topológica Global: El trabajo establece un nuevo tipo de obstrucción a la integrabilidad que no depende de la vanishing de polinomios invariantes (como en Bott), sino de la conexidad del conjunto singular. Esto conecta la geometría local de las hojas con la topología global de la variedad.
• Resolución de Problemas Abiertos: Resuelve la pregunta de Cerveau sobre la estructura de las singularidades en $\mathbb{P}^3$ y proporciona un marco para entender por qué ciertas distribuciones no pueden ser integrables.
• Relación con la Teoría de Intersección: El resultado muestra cómo la condición de amplitud fuerza a las componentes de dimensión máxima del conjunto singular a "tocarse" o unirse, evitando que estén disjuntas (a diferencia de lo que ocurre en variedades no proyectivas o sin la condición de amplitud).
• Aplicaciones a Haces No Divididos: El artículo conecta con problemas recientes sobre la descomposición de haces tangentes (trabajo de Faenzi, Vallés, etc.), mostrando que la existencia de foliaciones con haces tangentes no divididos (como haces de null-correlation) está intrínsecamente ligada a la presencia de singularidades singulares en el conjunto singular.

Conclusión

El artículo demuestra que, bajo condiciones de amplitud en el haz normal, la topología de una variedad proyectiva fuerza a que las singularidades de dimensión máxima de una foliación holomorfa sean conexas. Esto actúa como un "freno" topológico: si una distribución holomorfa tiene un conjunto singular con múltiples componentes conexas de dimensión $k-1$, entonces no puede ser integrable. Este resultado profundiza la comprensión de la relación entre la geometría algebraica, la topología y la teoría de foliaciones complejas.