On the connectedness of the singular set of holomorphic foliations

1. O Problema e o Contexto

O artigo aborda um problema fundamental na geometria complexa e na teoria de folheações holomorfas: a obstrução topológica à integrabilidade de distribuições holomorfas singulares.

• Contexto Histórico: Na década de 1960, Raoul Bott demonstrou que existem restrições topológicas (teorema de Bott) que impedem a existência de estruturas foliadas globalmente integráveis em certas variedades, baseando-se no desaparecimento de polinômios invariantes nas classes de Chern do fibrado normal.
• A Questão Específica: O foco deste trabalho é o conjunto singular ($Sing(\mathcal{F})$) de uma folheação holomorfa singular $\mathcal{F}$ de dimensão $k > 1$ em uma variedade projetiva $X$ de dimensão $n$. Especificamente, os autores investigam a conectividade das componentes irredutíveis de dimensão máxima ($k-1$) dentro do conjunto singular.
• Motivação: A questão foi levantada por D. Cerveau para folheações de codimensão um em $\mathbb{P}^3$. Sabe-se que distribuições holomorfas podem ter conjuntos singulares com múltiplas componentes desconexas de dimensão $k-1$. O problema é determinar se a integrabilidade (a condição de ser uma folheação) força a conexão dessas componentes.

2. Metodologia

A prova central do artigo baseia-se em uma combinação sofisticada de topologia algébrica e geometria complexa, utilizando principalmente as residuos de Baum-Bott.

• Resíduos de Baum-Bott: Os autores utilizam a teoria de resíduos de Chern localizados no conjunto singular. Para uma folheação $\mathcal{F}$, o número de Chern $c_1(N\mathcal{F})^{n-k+1}[X]$ pode ser decomposto em contribuições locais (resíduos) associadas a cada componente conexa do conjunto singular de dimensão $k-1$.
• Condição de Amplitude: O resultado depende crucialmente da hipótese de que o fibrado determinante do feixe normal, $\det(N\mathcal{F})$, é amplo.
• Argumento de Contagem:
  1. O conjunto singular de dimensão $k-1$ é denotado por $Z$, composto por componentes conexas $Z_1, \dots, Z_s$.
  2. Os resíduos locais $Res(\mathcal{F}, Z_i)$ são elementos em grupos de homologia/cohomologia.
  3. A condição de amplitude de $\det(N\mathcal{F})$ implica que o número de Chern total é não nulo e positivo.
  4. Ao analisar a relação entre o número de Chern global e a soma dos resíduos locais, os autores demonstram que, sob a hipótese de amplitude, o resíduo em cada componente $Z_i$ deve ser igual ao número de Chern total.
  5. Isso força a soma dos resíduos a ser igual a $s$ vezes o valor total. A única solução matematicamente consistente para essa igualdade é $s=1$, implicando que existe apenas uma componente conexa.

3. Principais Contribuições e Resultados

Teorema Principal (Teorema 1)

Seja $X$ uma variedade projetiva de dimensão $n$ e $\mathcal{F}$ uma folheação holomorfa singular de dimensão $k > 1$. Se o fibrado $\det(N\mathcal{F})$ é amplo e o conjunto singular $Sing(\mathcal{F})$ tem dimensão $\le k-1$, então a união das componentes irredutíveis de dimensão exatamente $k-1$ (denotada por $Z$) é conexa.

• Afinidade: O resultado é "agudo" (sharp), pois todas as hipóteses são necessárias. Exemplos mostram que sem a amplitude ou se $k=1$, a conclusão falha.
• Aplicação a $\mathbb{P}^3$: O teorema responde positivamente à pergunta de Cerveau para folheações de dimensão 2 em $\mathbb{P}^3$, pois em espaços projetivos, o fibrado determinante do normal é sempre amplo.

Corolários e Obstruções à Integrabilidade

O trabalho estabelece novas obstruções topológicas para a integrabilidade de distribuições:

• Corolário 1 (Folheações em 3-variedades): Para uma folheação de codimensão 1 em uma 3-variedade projetiva suave $X$ (com $h^1(\mathcal{O}_X)=0$), se o feixe tangente é localmente livre e certas condições de cohomologia são satisfeitas, o número de singularidades isoladas é determinado por uma fórmula envolvendo classes de Chern. Isso fornece uma obstrução para que um feixe reflexivo de posto 2 seja o feixe tangente de uma folheação integrável.
• Corolário 2 (Folheações em $\mathbb{P}^3$): Se o feixe tangente de uma folheação de codimensão 1 em $\mathbb{P}^3$ é localmente livre, então ou a folheação é um "pincel de planos" (caso trivial) ou seu conjunto singular é uma curva singular. Isso impede a existência de folheações integráveis com feixe tangente localmente livre e conjunto singular suave e conexo (exceto no caso de pincel de planos).

4. Significado e Impacto

1. Generalização do Fenômeno de Bott: O artigo expande o "fenômeno de Bott" (obstruções de Chern) para o contexto de distribuições singulares, substituindo o desaparecimento de classes de Chern por uma obstrução de conectividade.
2. Resolução de Problemas Abertos: Resolve uma questão específica de D. Cerveau sobre a estrutura do conjunto singular em $\mathbb{P}^3$, conectando a geometria do conjunto singular às propriedades globais do fibrado normal.
3. Limites da Integrabilidade: O trabalho demonstra que a integrabilidade impõe restrições topológicas severas sobre a geometria do conjunto singular. Se uma distribuição tem um conjunto singular com múltiplas componentes desconexas de dimensão máxima, ela não pode ser integrável (sob a hipótese de amplitude).
4. Exemplos de Não-Integrabilidade: Os autores fornecem exemplos explícitos (como em produtos de variedades ou em variedades não projetivas como a variedade de Hopf) onde a conectividade falha, ilustrando a necessidade das hipóteses do teorema.

Em resumo, o artigo estabelece que, em variedades projetivas com fibrados normais amplos, a integrabilidade de uma folheação holomorfa singular força a conexão de suas singularidades de dimensão máxima, oferecendo uma ferramenta poderosa para distinguir entre distribuições integráveis e não integráveis através da topologia de seus conjuntos singulares.