Extended operational Chow group and Lefschetz (1,1)-theorem

Sintesi Tecnica: Gruppo di Chow Operazionale Esteso e Teorema di Lefschetz (1, 1)

Enunciato del Problema
Il classico teorema di Lefschetz (1, 1) afferma che, per una varietà proiettiva liscia $X$, ogni classe di Hodge $(1, 1)$ integrale è la prima classe di Chern di un fibrato lineare. Estendere questo risultato a varietà singolari presenta sfide significative. Per una varietà singolare $X$, il gruppo di coomologia $H^2(X, \mathbb{Q})$ non possiede una struttura di Hodge pura; possiede, invece, una struttura di Hodge mista. Di conseguenza, la definizione di classi $(1, 1)$ deve essere ristretta alla parte graduata di peso 2, $Gr^W_2 H^2(X, \mathbb{Q}) \cap F^1 Gr^W_2 H^2(X, \mathbb{C})$.

I precedenti tentativi di generalizzare il teorema, come verificare la suriettività della mappa della prima classe di Chern da $\text{Pic}(X)$ verso queste classi, sono falliti in generale (Totaro [8]). Inoltre, la mappa di classe di ciclo di Bloch-Gillet-Soulé (BGS), che mappa il gruppo di Chow operazionale $A^p(X)$ verso lo spazio delle classi di Hodge $(p, p)$, non è sempre suriettiva per varietà singolari, anche quando $p=1$. Il problema centrale affrontato in questo articolo è il fallimento della suriettività della mappa BGS per certe varietà singolari e la necessità di identificare un gruppo di cicli più ampio che ripristini la suriettività, particolarmente per il caso di singolarità isolate.

Metodologia
Gli autori utilizzano il quadro dei gruppi di Chow operazionali e degli iperenvelopi, basandosi sul lavoro di Fulton, MacPherson e Totaro.

1. Gruppi di Chow Operazionali: L'articolo utilizza il gruppo di Chow operazionale $A^p(X)$, definito tramite il kernel di un morfismo tra i gruppi di Chow di envelopi lisci (iperenvelopi) di $X$.
2. Risoluzione delle Singolarità: Gli autori analizzano il comportamento della mappa BGS sotto risoluzioni delle singolarità $\phi: \tilde{X} \to X$. Utilizzano sequenze esatte che mettono in relazione $A^p(X)$, $A^p(\tilde{X})$ e i gruppi di Chow del locus eccezionale $E$.
3. Limiti Inversi: Per superare la non-suriettività della standard mappa BGS, gli autori introducono il gruppo di Chow operazionale esteso, indicato con $A^p_{\text{ext}}(X)$. Questo gruppo è definito come il limite inverso sulla categoria di tutte le risoluzioni di $X$ di un sottoinsieme specifico di $A^p(\tilde{X})$. Nello specifico, $A^p_{\text{ext}}(\phi)$ consiste in classi in $A^p(\tilde{X})$ la cui mappa di classe di ciclo viene nulla quando ristretta al divisore eccezionale.
4. Funzionalità e Limiti: L'articolo stabilisce che $A^p_{\text{ext}}(X)$ è il limite inverso di questi sottoinsiemi sulla categoria delle risoluzioni, garantendo che la mappa di classe di ciclo si estenda naturalmente a questo nuovo gruppo.

Contributi Chiave e Risultati

1. Suriettività per Singolarità Superficiali Razionali:
   Gli autori dimostrano che se $X$ è una superficie proiettiva normale con al massimo singolarità razionali, la standard mappa di classe di ciclo BGS $cl_1: A^1(X) \to H^{1,1}_{\text{Hdg}}(X)$ è suriettiva. Ciò estende il teorema di Lefschetz (1, 1) a questa specifica classe di superfici singolari. In questo caso, $A^1(X) = A^1_{\text{ext}}(X)$.

2. Introduzione del Gruppo di Chow Operazionale Esteso:
   L'articolo definisce $A^p_{\text{ext}}(X)$ come il limite inverso di sottoinsiemi dei gruppi di Chow operazionali delle risoluzioni.

   • Contenimento: $A^p(X) \subseteq A^p_{\text{ext}}(X)$.
   • Estensione della Mappa: La mappa di classe di ciclo BGS si estende a una mappa $cl_p: A^p_{\text{ext}}(X) \to Gr^W_{2p} H^{2p}(X, \mathbb{Q})$.
   • Funzionalità: Per $p=1$, il gruppo esteso $A^1_{\text{ext}}(X)$ è funzionale rispetto ai morfismi tra varietà con singolarità isolate.

3. Teorema di Lefschetz (1, 1) per Singolarità Isolate:
   Il risultato principale è che se $X$ ha al massimo singolarità isolate (non necessariamente una superficie), la mappa di classe di ciclo estesa $cl_1: A^1_{\text{ext}}(X) \to H^{1,1}_{\text{Hdg}}(X)$ è suriettiva. Ciò dimostra che ogni classe di Hodge $(1, 1)$ in $H^2(X, \mathbb{Q})$ deriva da un elemento del gruppo di Chow operazionale esteso, colmando il vuoto lasciato dalla non-suriettività della mappa standard.

4. Controesempi e Non-Suriettività:
   L'articolo fornisce esempi espliciti (seguendo Totaro) in cui la standard mappa BGS $cl_1: A^1(X) \to H^{1,1}_{\text{Hdg}}(X)$ non è suriettiva. Nello specifico, per una superficie $X$ ottenuta contraendo una curva $C'$ (la trasformata stretta di una cubica) in un blow-up di $\mathbb{P}^2$ in 10 punti generici, $A^1(X) \neq A^1_{\text{ext}}(X)$, e la mappa standard fallisce l'essere suriettiva. Ciò rende necessaria l'introduzione del gruppo esteso.

5. Codimensione Superiore e Congettura di Hodge:
   Per codimensioni superiori ($p > 1$), la suriettività della mappa estesa non è garantita senza ulteriori assunzioni. Gli autori definiscono un ulteriore ampliamento, $A^p_{\text{wide}}(X)$, basato su una sottocategoria di risoluzioni dove i pull-back di cicli omologicamente triviali sono suriettivi. Essi mostrano che se la congettura di Hodge vale per varietà proiettive lisce, allora la mappa $cl_p: A^p_{\text{wide}}(X) \to H^{p,p}_{\text{Hdg}}(X)$ è suriettiva per ogni $p > 0$.

Significato
L'articolo sostiene di voler generalizzare il classico teorema di Lefschetz (1, 1) nel contesto delle varietà singolari, affrontando specificamente i limiti dei precedenti approcci riguardanti la mappa della prima classe di Chern e il gruppo di Chow operazionale standard. Introducendo il gruppo di Chow operazionale esteso, gli autori forniscono un quadro naturale in cui la mappa di classe di ciclo diventa suriettiva per varietà con singolarità isolate. Questo risultato chiarisce la relazione tra classi di Hodge e cicli algebrici in presenza di singolarità, mostrando che mentre i cicli standard potrebbero non bastare, un limite sulle risoluzioni (il gruppo esteso) cattura tutte le classi $(1, 1)$. Il lavoro mette inoltre in contesto questi risultati rispetto ai risultati di Arapura sulla coomologia motivica, notando che mentre la mappa di Arapura è suriettiva su un sottoinsieme più piccolo ($F^1 H^2 \cap H^2$), il gruppo di Chow operazionale esteso cattura lo spazio più ampio di classi di Hodge $(1, 1)$ inerente alla struttura singolare.