Extended operational Chow group and Lefschetz (1,1)-theorem

Technische Samenvatting: Uitgebreide Operationele Chow-groep en de Lefschetz (1, 1)-stelling

Probleemstelling
De klassieke Lefschetz (1, 1)-stelling stelt dat voor een glad projectieve variëteit $X$, elke integrale $(1, 1)$-Hodge-klasse de eerste Chern-klasse is van een lijnbundel. Het uitbreiden van dit resultaat naar singuliere variëteiten brengt aanzienlijke uitdagingen met zich mee. Voor een singuliere variëteit $X$ bezit de cohomologiegroep $H^2(X, \mathbb{Q})$ geen zuivere Hodge-structuur; in plaats daarvan bezit zij een gemengde Hodge-structuur. Bijgevolg moet de definitie van $(1, 1)$-klassen worden beperkt tot het gewichts-2 gegradeerde deel, $Gr^W_2 H^2(X, \mathbb{Q}) \cap F^1 Gr^W_2 H^2(X, \mathbb{C})$.

Eerdere pogingen om de stelling te generaliseren, zoals het controleren van de surjectiviteit van de eerste Chern-klasse afbeelding van $\text{Pic}(X)$ naar deze klassen, zijn in het algemeen mislukt (Totaro [8]). Bovendien is de Bloch-Gillet-Soulé (BGS) cyclusklasse afbeelding, die de operationele Chow-groep $A^p(X)$ naar de ruimte van $(p, p)$-Hodge-klassen afbeeldt, niet altijd surjectief voor singuliere variëteiten, zelfs niet wanneer $p=1$. Het centrale probleem dat in dit artikel wordt behandeld, is het falen van de surjectiviteit van de BGS-afbeelding voor bepaalde singuliere variëteiten en de noodzaak om een grotere cyclusgroep te identificeren die surjectiviteit herstelt, in het bijzonder voor het geval van geïsoleerde singulariteiten.

Methodologie
De auteurs maken gebruik van het kader van operationele Chow-groepen en hyperenvelopes, voortbouwend op het werk van Fulton, MacPherson en Totaro.

1. Operationele Chow-groepen: Het artikel maakt gebruik van de operationele Chow-groep $A^p(X)$, gedefinieerd via de kernel van een morfisme tussen Chow-groepen van gladde envelopes (hyperenvelopes) van $X$.
2. Resolutie van Singulariteiten: De auteurs analyseren het gedrag van de BGS-afbeelding onder resoluties van singulariteiten $\phi: \tilde{X} \to X$. Zij maken gebruik van exacte sequenties die $A^p(X)$, $A^p(\tilde{X})$ en de Chow-groepen van de exceptionele locus $E$ relateren.
3. Inverselijke Limieten: Om de niet-surjectiviteit van de standaard BGS-afbeelding te overwinnen, introduceren de auteurs de uitgebreide operationele Chow-groep, aangeduid als $A^p_{\text{ext}}(X)$. Deze groep wordt gedefinieerd als de inverselijke limiet over de categorie van alle resoluties van $X$ van een specifieke deelverzameling van $A^p(\tilde{X})$. Specifiek bestaat $A^p_{\text{ext}}(\phi)$ uit klassen in $A^p(\tilde{X})$ waarvan de cyclusklasse afbeelding naar nul afbeeldt wanneer deze wordt beperkt tot de exceptionele divisor.
4. Functorialiteit en Limieten: Het artikel stelt vast dat $A^p_{\text{ext}}(X)$ de inverselijke limiet is van deze deelverzamelingen over de categorie van resoluties, waardoor de cyclusklasse afbeelding zich op natuurlijke wijze kan uitbreiden naar deze nieuwe groep.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

1. Surjectiviteit voor Rationele Oppervlakte-singulariteiten:
   De auteurs bewijzen dat als $X$ een normale projectieve oppervlakte is met op zijn hoogst rationele singulariteiten, de standaard BGS cyclusklasse afbeelding $cl_1: A^1(X) \to H^{1,1}_{\text{Hdg}}(X)$ surjectief is. Dit breidt de Lefschetz (1, 1)-stelling uit naar deze specifieke klasse van singuliere oppervlaktes. In dit geval geldt $A^1(X) = A^1_{\text{ext}}(X)$.

2. Introductie van de Uitgebreide Operationele Chow-groep:
   Het artikel definieert $A^p_{\text{ext}}(X)$ als de inverselijke limiet van deelverzamelingen van operationele Chow-groepen van resoluties.

   • Insluiting: $A^p(X) \subseteq A^p_{\text{ext}}(X)$.
   • Uitbreiding van de Afbeelding: De BGS cyclusklasse afbeelding breidt zich uit tot een afbeelding $cl_p: A^p_{\text{ext}}(X) \to Gr^W_{2p} H^{2p}(X, \mathbb{Q})$.
   • Functorialiteit: Voor $p=1$ is de uitgebreide groep $A^1_{\text{ext}}(X)$ functorieel met betrekking tot morfismen tussen variëteiten met geïsoleerde singulariteiten.

3. Lefschetz (1, 1)-stelling voor Geïsoleerde Singulariteiten:
   Het primaire resultaat is dat als $X$ op zijn hoogst geïsoleerde singulariteiten heeft (niet noodzakelijkerwijs een oppervlak), de uitgebreide cyclusklasse afbeelding $cl_1: A^1_{\text{ext}}(X) \to H^{1,1}_{\text{Hdg}}(X)$ surjectief is. Dit toont aan dat elke Hodge $(1, 1)$-klasse in $H^2(X, \mathbb{Q})$ voortkomt uit een element van de uitgebreide operationele Chow-groep, waarmee de kloof wordt gedicht die door de niet-surjectiviteit van de standaard afbeelding werd achtergelaten.

4. Tegenvoorbeelden en Niet-surjectiviteit:
   Het artikel geeft expliciete voorbeelden (volgens Totaro) waar de standaard BGS-afbeelding $cl_1: A^1(X) \to H^{1,1}_{\text{Hdg}}(X)$ niet surjectief is. Specifiek, voor een oppervlakte $X$ verkregen door een curve $C'$ (de strikte transformatie van een kubus) te contraheren in een blow-up van $\mathbb{P}^2$ in 10 algemene punten, geldt $A^1(X) \neq A^1_{\text{ext}}(X)$, en faalt de standaard afbeelding om surjectief te zijn. Dit maakt de introductie van de uitgebreide groep noodzakelijk.

5. Hogere Codimensie en de Hodge-conjectuur:
   Voor hogere codimensies ($p > 1$) is de surjectiviteit van de uitgebreide afbeelding niet gegarandeerd zonder verdere aannames. De auteurs definiëren een verdere vergroting, $A^p_{\text{wide}}(X)$, gebaseerd op een subcategorie van resoluties waarbij pullbacks van homologisch triviale cycli surjectief zijn. Zij tonen aan dat indien de Hodge-conjectuur geldt voor glad projectieve variëteiten, de afbeelding $cl_p: A^p_{\text{wide}}(X) \to H^{p,p}_{\text{Hdg}}(X)$ surjectief is voor alle $p > 0$.

Betekenis
Het artikel beweert de klassieke Lefschetz (1, 1)-stelling te hebben gegeneraliseerd naar de setting van singuliere variëteiten, waarbij specif de beperkingen van eerdere benaderingen met betrekking tot de eerste Chern-klasse afbeelding en de standaard operationele Chow-groep wordt geadresseerd. Door de uitgebreide operationele Chow-groep te introduceren, bieden de auteurs een natuurlijk kader waarin de cyclusklasse afbeelding surjectief wordt voor variëteiten met geïsoleerde singulariteiten. Dit resultaat verheldert de relatie tussen Hodge-klassen en algebraïsche cycli in de aanwezigheid van singulariteiten, waarbij wordt aangetoond dat hoewel standaard cycli mogelijk niet volstaan, een limiet over resoluties (de uitgebreide groep) alle $(1, 1)$-klassen vastlegt. Het werk plaatst deze bevindingen ook in de context van de resultaten van Arapura over motivische cohomologie, waarbij wordt opgemerkt dat hoewel de afbeelding van Arapura surjectief is op een kleinere deelruimte ($F^1 H^2 \cap H^2$), de uitgebreide operationele Chow-groep de grotere ruimte van Hodge $(1, 1)$-klassen vastlegt die inherent is aan de singuliere structuur.