Extended operational Chow group and Lefschetz (1,1)-theorem

技術要約：拡張オペレーショナル・チャウ群とレフシェッツ (1, 1) 定理

問題提起
古典的なレフシェッツ (1, 1) 定理は、滑らかな射影多様体 $X$ に対して、すべての整リーマン $(1, 1)$ ホッジ・クラスはラインバンドルの第1チェルン・クラスであることを述べている。この結果を特異多様体へと拡張することには、重大な困難が伴う。特異な多様体 $X$ に対して、コホモロジー群 $H^2(X, \mathbb{Q})$ は純粋なホッジ構造を持たず、代わりに混合ホッジ構造を有する。その結果、$(1, 1)$ クラスの定義は、重み2の次数成分 $Gr^W_2 H^2(X, \mathbb{Q}) \cap F^1 Gr^W_2 H^2(X, \mathbb{C})$ に制限されなければならない。

これまでの一般化の試み、例えば $\text{Pic}(X)$ からこれらのクラスへの第1チェルン・クラス写像の全射性を確認する試みなどは、一般には失敗している（Totaro [8]）。さらに、ブロック・ジレット・スール (BGS) サイクル・クラス写像（オペレーショナル・チャウ群 $A^p(X)$ から $(p, p)$ ホッジ・クラスへの写像）は、たとえ $p=1$ の場合であっても、特異な多様体に対して必ずしも全射ではない。本論文が扱う中心的な問題は、特定の特異多様体におけるBGS写像の非全射性と、特に孤立特異点の場合において、全射性を回復させるためのより大きなサイクル群を特定する必要性である。

手法
著者らは、Fulton、MacPherson、およびTotaroの研究に基づき、オペレーショナル・チャウ群とハイパーエンベロープ（hyperenvelope）の枠組みを用いている。

1. オペレーショナル・チャウ群: 本論文では、$X$ の滑らかなエンベロープ（ハイパーエンベロープ）のチャウ群の間の射の核として定義されるオペレーショナル・チャウ群 $A^p(X)$ を利用する。
2. 特異性の解消: 著者らは、特異性の解消 $\phi: \tilde{X} \to X$ の下でのBGS写像の振る舞いを分析する。彼らは、$A^p(X)$、$A^p(\tilde{X})$、および例外的な軌跡 $E$ のチャウ群を関連付ける完全系列を利用する。
3. 逆極限: 標準的なBGS写像の非全射性を克服するために、著者らは拡張オペレーショナル・チャウ群（$A^p_{\text{ext}}(X)$ と表記）を導入する。この群は、$X$ のあらゆる解消の圏における、特定の $A^p(\tilde{X})$ の部分集合に対する逆極限として定義される。具体的には、$A^p_{\text{ext}}(\phi)$ は、例外的な因子への制限がゼロとなるサイクル・クラスを持つ $A^p(\tilde{X})$ のクラスからなる。
4. 関手性と極限: 著者らは、$A^p_{\text{ext}}(X)$ が解消の圏におけるこれらの部分集合の逆極限であることを確立し、これによりサイクル・クラス写像がこの新しい群へ自然に拡張されることを保証している。

主要な貢献と結果

1. 有理表面特異性における全射性:
   著者らは、$X$ が高々有理特異性を持つ正規射影曲面である場合、標準的なBGSサイクル・クラス写像 $cl_1: A^1(X) \to H^{1,1}_{\text{Hdg}}(X)$ が全射であることを証明している。これは、この特定の特異な曲面へのレフシェッツ (1, 1) 定理の拡張である。この場合、$A^1(X) = A^1_{\text{ext}}(X)$ である。

2. 拡張オペレーショナル・チャウ群の導入:
   著者らは、$A^p_{\text{ext}}(X)$ を解消のオペレーショナル・チャウ群の部分集合の逆極限として定義する。

• 包含関係: $A^p(X) \subseteq A^p_{\text{ext}}(X)$。
• 写像の拡張: BGSサイクル・クラス写像は $cl_p: A^p_{\text{ext}}(X) \to Gr^W_{2p} H^{2p}(X, \mathbb{Q})$ へと拡張される。
• 関手性: $p=1$ のとき、$A^1_{\text{ext}}(X)$ は孤立特異点を持つ多様体の間の射に対して関手的である。

3. 孤立特異性に対するレフシェッツ (1, 1) 定理:
   主要な結果は、$X$ が（必ずしも曲面とは限らないが）高々孤立特異性を持つ場合、拡張されたサイクル・クラス写像 $cl_1: A^1_{\text{ext}}(X) \to H^{1,1}_{\text{Hdg}}(X)$ が全射であることである。これは、すべてのホッジ $(1, 1)$ クラスが拡張オペレーショナル・チャウ群の元から導かれることを示しており、標準的な写像による欠落を埋めるものである。

4. 反例と非全射性:
   本論文は、標準的なBGS写像 $cl_1: A^1(X) \to H^{1,1}_{\text{Hdg}}(X)$ が全射ではない（Totaroに従う）具体的な例を提示している。具体的には、10個の一般的な点における $\mathbb{P}^2$ の吹出しにおける曲線 $C'$（3次曲線の厳密変換）を縮退して得られる曲面 $X$ について、$A^1(X) \neq A^1_{\text{ext}}(X)$ であり、標準的な写像は全射にならない。これにより、拡張群の導入が必要とされる。

5. 高余次元とホッジ予想:
   高余次元 ($p > 1$) においては、さらなる仮定なしには拡張写像の全射性は保証されない。著者らは、ホモロジー的に自明なサイクルの引き戻しが全射となる解消のサブカテゴリに基づく、さらなる拡大 $A^p_{\text{wide}}(X)$ を定義している。彼らは、もし滑らかな射影多様体に対してホッジ予想が成り立つならば、写像 $cl_p: A^p_{\text{wide}}(X) \to H^{p,p}_{\text{Hdg}}(X)$ はすべての $p > 0$ に対して全射であることを示している。

意義
本論文は、第1チェルン・クラス写像や標準的なオペレーショナル・チャウ群に関する従来のアプローチの限界に対処しつつ、特異な多様体への古典的なレフシェッツ (1, 1) 定理を一般化することを主張している。拡張オペレーショナル・チャウ群を導入することで、著者らは、孤立特異性を持つ多様体においてサイクル・クラス写像が全射となる自然な枠組みを提供している。この結果は、特異性の存在下におけるホッジ・クラスと代数サイクルとの関係を明確にするものであり、標準的なサイクルだけでは不十分な場合でも、解消の極限（拡張群）がすべての $(1, 1)$ クラスを捉えることを示している。また、本研究はArapuraのモチーフ・コホモロジーに関する結果とも文脈を共有している。Arapuraの写像はより小さな部分空間 ($F^1 H^2 \cap H^2$) への全射であるのに対し、拡張オペレーショナル・チャウ群は、特異な構造に固有のより大きなホッジ $(1, 1)$ クラスの空間を捉えている。