Maz'ya-type bounds for sharp constants in fractional Poincaré-Sobolev inequalities

1. Il Problema e il Contesto

Il paper si occupa di caratterizzare le costanti sharp (migliori possibili) nelle disuguaglianze di Poincaré-Sobolev frazionarie associate a un insieme aperto $\Omega \subseteq \mathbb{R}^N$.
In particolare, gli autori studiano il valore:
$$\lambda^s_{p,q}(\Omega) := \inf_{u \in C^\infty_0(\Omega), \|u\|_{L^q}=1} [u]^p_{W^{s,p}(\mathbb{R}^N)}$$
dove $[u]_{W^{s,p}}$ è la seminorma di Gagliardo-Slobodecki˘ı.

La sfida principale:
Nell'ambito locale ($s=1$), è noto che la positività della costante di Poincaré $\lambda_p(\Omega)$ non dipende semplicemente dal raggio interno (inradius) $r_\Omega$, ma è influenzata da perturbazioni capacitarie dell'insieme (insiemi di capacità nulla). Per caratterizzare la positività in modo robusto, Maz'ya e Shubin hanno introdotto il concetto di raggio capacitario interno ($R_{p,\gamma}(\Omega)$), che permette ai "buchi" nel dominio di essere piccoli in senso capacitario.
L'obiettivo di questo lavoro è estendere questo risultato al caso non locale (frazionario, $0 < s < 1$), fornendo stime bilaterali (upper e lower bounds) per $\lambda^s_{p,q}(\Omega)$ in termini di una versione frazionaria del raggio capacitario.

2. Metodologia e Strumenti Tecnici

Gli autori adottano una strategia ispirata ai lavori locali di Maz'ya-Shubin e Bozzola-Brasco, ma devono superare significative difficoltà tecniche dovute alla natura non locale degli operatori.

• Definizione del Raggio Capacitario Frazionario: Viene introdotto il concetto di $(s, p, \gamma)$-trascurabilità. Un insieme compatto $\Sigma \subset B_r(x_0)$ è trascurabile se la sua capacità frazionaria relativa è piccola rispetto a quella della palla stessa. Il raggio capacitario frazionario $R^s_{p,\gamma}(\Omega)$ è definito come il supremo dei raggi $r$ tali che esista una palla $B_r$ il cui complemento in $\Omega$ è trascurabile.
• Nuove Disuguaglianze di Maz'ya-Poincaré: Un contributo metodologico cruciale è la costruzione di nuove disuguaglianze di Poincaré che coinvolgono una seminorma asimmetrica su strisce (strips):
  $$\left( \iint_{B_r(x_0) \times \mathbb{R}^N} \frac{|u(x)-u(y)|^p}{|x-y|^{N+sp}} dx dy \right)^{1/p}$$
  Questa scelta è fondamentale perché le versioni standard delle disuguaglianze di Poincaré frazionarie falliscono nel fornire il comportamento asintotico corretto quando $s \to 0$ o $s \to 1$. La seminorma asimmetrica preserva le proprietà di interpolazione necessarie per recuperare i limiti locali e di ordine zero.
• Tiling e Copertura: La prova della limitazione inferiore utilizza un rivestimento (tiling) di $\mathbb{R}^N$ con palle di raggio $r$ e centri equidistanti, sfruttando la definizione di $R^s_{p,\gamma}(\Omega)$ per stimare la capacità del complemento dell'insieme in ogni palla.
• Approssimazione e Funzioni Test: Per la limitazione superiore, si costruiscono funzioni test specifiche utilizzando potenziali capacitari approssimati e funzioni di taglio, adattando tecniche locali al contesto non locale.

3. Risultati Principali

A. Stime Bilaterali (Teoremi 1.4 e 1.5)

Il risultato centrale è una caratterizzazione della costante $\lambda^s_{p,q}(\Omega)$ in termini del raggio capacitario frazionario $R^s_{p,\gamma}(\Omega)$:

1. Limitazione Inferiore (Teorema 1.4):
   $$\gamma \sigma \left( \frac{1}{R^s_{p,\gamma}(\Omega)} \right)^{sp - N + \frac{Np}{q}} \leq \lambda^s_{p,q}(\Omega)$$
   La costante $\sigma$ ha un comportamento asintotico ottimale: $\sigma \sim 1/s$ per $s \to 0$ e $\sigma \sim 1/(1-s)$ per $s \to 1$.

2. Limitazione Superiore (Teorema 1.5):
   $$\lambda^s_{p,q}(\Omega) \leq C \left( \frac{1}{R^s_{p,\gamma}(\Omega)} \right)^{sp - N + \frac{Np}{q}}$$
   Questa disuguaglianza vale per un parametro di trascurabilità $\gamma$ sufficientemente piccolo ($0 < \gamma < \gamma_0$). Anche qui, la costante $C$ mostra il corretto comportamento asintotico rispetto a $s$.

B. Caratterizzazione della Positività (Corollario 1.7)

Ne consegue una condizione necessaria e sufficiente per l'immersione dello spazio di Sobolev omogeneo $D^{s,p}_0(\Omega)$ in $L^q(\Omega)$:
$$D^{s,p}_0(\Omega) \hookrightarrow L^q(\Omega) \iff R^s_{p,\gamma}(\Omega) < \infty$$
per qualche $\gamma$ adeguato. Questo generalizza i risultati classici di Maz'ya al caso frazionario.

C. Costante di Cheeger Frazionaria (Corollario 1.8)

Per il caso particolare $p=q=1$, le stime forniscono una caratterizzazione ottimale della costante di Cheeger frazionaria $h_s(\Omega)$:
$$\sigma \gamma \left( \frac{1}{R^s_{1,\gamma}(\Omega)} \right)^s \leq h_s(\Omega) \leq C \left( \frac{1}{R^s_{1,\gamma}(\Omega)} \right)^s$$
Questo risultato è nuovo e ottimale, permettendo l'intero spettro di valori ammissibili per $\gamma \in (0,1)$.

D. Stime per la Funzione di Torsione (Corollario 1.9)

Come corollario, si ottiene una nuova stima $L^\infty$ per la funzione di torsione $(s,p)$-frazionaria $w_{p,s,\Omega}$, risolvendo il problema $(−\Delta_p)^s u = 1$ in $\Omega$.

4. Significato e Contributi Originali

• Generalizzazione Non Locale: Il lavoro colma un vuoto significativo nella letteratura estendendo i profondi risultati di Maz'ya-Shubin (originariamente per $s=1$) al regime frazionario $s \in (0,1)$.
• Ottimalità Asintotica: A differenza di tentativi precedenti che usavano disuguaglianze di Poincaré standard, questo lavoro garantisce che le costanti abbiano il comportamento corretto quando $s \to 0$ (limite di ordine zero) e $s \to 1$ (limite locale). Questo è ottenuto grazie all'uso innovativo della seminorma asimmetrica.
• Nuovi Strumenti Analitici: Le nuove disuguaglianze di tipo Maz'ya-Poincaré e Poincaré-Wirtinger dimostrate nel lavoro sono di interesse indipendente e potrebbero trovare applicazione in altri problemi di analisi non locale.
• Applicabilità: I risultati sono validi per insiemi aperti generali (non necessariamente limitati o con frontiera regolare), caratterizzando la positività degli autovalori del Laplaciano frazionario e delle costanti di Poincaré-Sobolev in base alla geometria capacitaria del dominio.

In sintesi, il paper fornisce un quadro teorico completo e robusto per comprendere come la geometria "capacitaria" di un dominio controlli le proprietà spettrali e di immersione negli spazi di Sobolev frazionari, risolvendo problemi aperti sulla dipendenza dai parametri $s$ e $p$.