Maz'ya-type bounds for sharp constants in fractional Poincaré-Sobolev inequalities

1. Probleemstelling en Context

Het artikel richt zich op het karakteriseren van de scherpe constanten in fractionele Poincaré-Sobolev-ongelijkheden voor een willekeurige open verzameling $\Omega \subseteq \mathbb{R}^N$. Deze constanten, aangeduid als $\lambda^s_{p,q}(\Omega)$, zijn gedefinieerd als het infimum van het kwantitatieve verband tussen de $L^q$-norm van een functie en de Gagliardo-Slobodeckiĭ-halfnorm (de fractionele afgeleide):

$$\lambda^s_{p,q}(\Omega) = \inf_{u \in C^\infty_0(\Omega), \|u\|_{L^q}=1} [u]^p_{W^{s,p}(\mathbb{R}^N)}$$

waarbij $s \in (0,1)$ de orde van differentiatie is en $p, q$ de integrabiliteitsindexen.

Het centrale probleem:
In het lokale geval ($s=1$) hebben Maz'ya en Shubin bewezen dat de positiviteit van de Poincaré-constante gekarakteriseerd kan worden door de capacitaire inradius (een maat voor de grootte van het domein die rekening houdt met "capacitaire verwaarloosbare" gaten). In het fractionele geval ($s \in (0,1)$) is dit echter complexer. De frequenties $\lambda^s_{p,q}(\Omega)$ zijn niet gevoelig voor compacte sets met nul relatieve $(s,p)$-capaciteit. Dit betekent dat een domein met een eindige straal (inradius) toch een nul-constante kan hebben als het "gaten" bevat die voor de lokale theorie relevant zijn, maar voor de fractionele theorie niet.

De auteurs willen een tweezijdige schatting (Maz'ya-type grenzen) vinden voor $\lambda^s_{p,q}(\Omega)$ in termen van een nieuw gedefinieerd fractioneel capacitair inradius, zodat de positiviteit van de constante volledig gekarakteriseerd wordt voor alle open verzamelingen.

2. Methodologie

De auteurs hanteren een strategie die is geïnspireerd op het werk van Maz'ya, Shubin, Brasco en de eerste auteur voor het lokale geval, maar vereist aanzienlijke aanpassingen voor het niet-lokale kader.

Kernmethodologische stappen:

1. Definitie van Fractioneel Capacitair Inradius:
   Ze introduceren de $(p, \gamma)$-capacitaire inradius van orde $s$, genoteerd als $R^s_{p,\gamma}(\Omega)$. Een bal $B_r(x_0)$ wordt als "verwaarloosbaar" beschouwd ten opzichte van $\Omega$ als de $(s,p)$-capaciteit van het deel van de bal dat buiten $\Omega$ valt, klein is ten opzichte van de capaciteit van de hele bal (gecontroleerd door een parameter $\gamma$).
   $$R^s_{p,\gamma}(\Omega) = \sup \{ r > 0 : \exists B_r(x_0) \text{ zodanig dat } B_r(x_0) \setminus \Omega \text{ is } (s,p,\gamma)\text{-verwaarloosbaar} \}$$

2. Tegelijkertijd geldende Ongelijkheden (Asymptotische Scherpheid):
   Een groot deel van de technische uitdaging ligt in het behouden van de juiste asymptotische gedragingen van de constanten wanneer $s \to 0$ en $s \to 1$.

   • Bestaande fractionele varianten van de Maz'ya-Poincaré-ongelijkheid in de literatuur falen vaak in de limiet $s \to 0$ (ze worden triviaal).
   • Om dit op te lossen, introduceren de auteurs een asymmetrische halfnorm op "strips" (balken):
     $$[u]_{strip} = \left( \iint_{B_r(x_0) \times \mathbb{R}^N} \frac{|u(x)-u(y)|^p}{|x-y|^{N+sp}} dx dy \right)^{1/p}$$
   • Ze bewijzen nieuwe fractionele Maz'ya-Poincaré-ongelijkheden voor deze halfnorm. Deze ongelijkheden zijn ontworpen om de bekende convergentie-eigenschappen van de Gagliardo-Slobodeckiĭ-halfnorm te respecteren:
     • Voor $s \to 0$: convergentie naar de $L^p$-norm.
     • Voor $s \to 1$: convergentie naar de $L^p$-norm van de gradiënt.

3. Tiling en Covering Argumenten:
   Voor de ondergrens gebruiken ze een tegelvloer (tiling) van $\mathbb{R}^N$ met ballen met een straal $r > R^s_{p,\gamma}(\Omega)$. Door de nieuwe Maz'ya-Poincaré-ongelijkheid toe te passen op elke bal en de bijdragen op te tellen, verkrijgen ze een globale ondergrens.

4. Constructie van Competitors voor de Bovengrens:
   Voor de bovengrens construeren ze testfuncties die gebaseerd zijn op de capacitaire potentiaal van de "gaten" in het domein. Ze gebruiken een gladde afsnijfunctie (cut-off) gecombineerd met een benadering van de capacitaire potentiaal om een geldige testfunctie voor $\lambda^s_{p,q}(\Omega)$ te maken.

3. Belangrijkste Resultaten

Het paper levert de volgende hoofdbijdragen:

• Hoofdstelling 1 (Ondergrens): Er bestaat een constante $\sigma > 0$ zodanig dat:
  $$\gamma \sigma \left( \frac{1}{R^s_{p,\gamma}(\Omega)} \right)^{sp - N + \frac{Np}{q}} \leq \lambda^s_{p,q}(\Omega)$$
  De constante $\sigma$ heeft de juiste asymptotische gedragingen: $\sigma \sim 1/s$ voor $s \to 0$ en $\sigma \sim 1/(1-s)$ voor $s \to 1$.

• Hoofdstelling 2 (Bovengrens): Er bestaat een drempel $\gamma_0 \in (0,1]$ zodanig dat voor elke $0 < \gamma < \gamma_0$:
  $$\lambda^s_{p,q}(\Omega) \leq C \left( \frac{1}{R^s_{p,\gamma}(\Omega)} \right)^{sp - N + \frac{Np}{q}}$$
  Waarbij $C$ eveneens de juiste asymptotische gedragingen vertoont. Als $R^s_{p,\gamma}(\Omega) = +\infty$, dan is $\lambda^s_{p,q}(\Omega) = 0$.

• Karakterisering van Inbedding:
  Een direct gevolg is dat de inbedding van de homogene Sobolev-ruimte $D^{s,p}_0(\Omega)$ in $L^q(\Omega)$ equivalent is aan de eindigheid van de fractionele capacitaire inradius:
  $$D^{s,p}_0(\Omega) \hookrightarrow L^q(\Omega) \iff R^s_{p,\gamma}(\Omega) < \infty$$
  Dit geldt voor het subkritische regime $p \leq q < p^*_s$.

• Fractionele Cheeger-constante:
  Voor het geval $p=q=1$ (waarbij $\lambda^s_1(\Omega)$ de fractionele Cheeger-constante $h_s(\Omega)$ is), leveren de resultaten een optimale karakterisering:
  $$h_s(\Omega) > 0 \iff R^s_{1,\gamma}(\Omega) < \infty$$
  Dit resultaat is optimaal omdat het geldt voor het volledige bereik van de parameter $\gamma \in (0,1)$.

• Nieuwe Ongeijkte Ongeijkheden:
  Tijdens het bewijs worden nieuwe fractionele Poincaré-Wirtinger-ongelijkheden en Maz'ya-Poincaré-ongelijkheden bewezen die scherp zijn in de limieten $s \to 0$ en $s \to 1$. Deze zijn op zichzelf waardevol voor de analyse van niet-lokale operatoren.

4. Significatie en Impact

• Verbinding tussen Lokaal en Niet-Lokaal: Het werk slaat een brug tussen de klassieke theorie van Maz'ya voor het Laplace-operatorgeval en de moderne theorie van fractionele Laplace-operatoren. Het toont aan dat het concept van "capacitaire inradius" ook in het niet-lokale kader de sleutel is tot het begrijpen van spectrale eigenschappen.
• Optimaliteit: De resultaten zijn scherp in de zin dat ze de juiste afhankelijkheid van de parameter $s$ behouden. Veel eerdere pogingen faalden in de limiet $s \to 0$ omdat ze de specifieke structuur van de fractionele afgeleiden niet correct benutten.
• Toepassingen: De resultaten zijn relevant voor:
  • Spectrale Meetkunde: Het begrijpen van het spectrum van de fractionele $p$-Laplace-operator op willekeurige domeinen.
  • Reguliereitstheorie: Het karakteriseren van domeinen waarvoor oplossingen van niet-lokale partiële differentiaalvergelijkingen goed gedefinieerd zijn.
  • Faber-Krahn-ongelijkheden: Het biedt nieuwe inzichten in de optimaliteit van domeinvormen voor eigenwaarden.
• Nieuwheid: Zelfs voor het specifieke geval van de eerste eigenwaarde van de fractionele Laplace-operator ($p=q=2$) zijn deze resultaten nieuw.

Samenvattend biedt dit artikel een fundamentele doorbraak in het kwantificeren van de invloed van de geometrie van een domein op de spectrale eigenschappen van niet-lokale operatoren, door een robuust en scherp verband te leggen met een veralgemeend capacitair inradius-concept.