Maz'ya-type bounds for sharp constants in fractional Poincaré-Sobolev inequalities

1. Problématique et Contexte

L'article s'intéresse à l'estimation des constantes optimales (ou "sharp constants") dans les inégalités de Poincaré-Sobolev fractionnaires associées à un ouvert $\Omega \subseteq \mathbb{R}^N$. Plus précisément, les auteurs étudient la quantité $\lambda^s_{p,q}(\Omega)$, définie comme le plus petit nombre réel positif satisfaisant l'inégalité :
$$\lambda^s_{p,q}(\Omega) \|u\|_{L^q(\Omega)}^p \leq [u]_{W^{s,p}(\mathbb{R}^N)}^p, \quad \forall u \in C^\infty_0(\Omega),$$
où $[u]_{W^{s,p}}$ est la semi-norme de Gagliardo-Slobodeckiĭ.

Le défi principal : Dans le cas local ($s=1$), il est bien établi que la positivité de la constante de Poincaré $\lambda_p(\Omega)$ est caractérisée par la finitude du "rayon capacitaire intérieur" (introduced by Maz'ya et Shubin), une notion qui généralise le rayon intérieur (inradius) en tenant compte des perturbations capacitairement négligeables. Cependant, dans le cadre non-local ($s \in (0,1)$), une simple généralisation du rayon intérieur échoue car les fréquences $\lambda^s_{p,q}$ sont insensibles aux perturbations par des compacts de capacité $(s,p)$-nulle.

L'objectif du papier est d'établir des bornes bilatérales (inférieure et supérieure) pour $\lambda^s_{p,q}(\Omega)$ en fonction d'une extension capacitaire non locale du rayon intérieur, et ce, avec des constantes qui ont un comportement asymptotique optimal lorsque $s \to 0$ et $s \to 1$.

2. Méthodologie

La stratégie de preuve s'inspire des travaux de Maz'ya, Shubin, Brasco et du premier auteur dans le cas local, mais nécessite des adaptations techniques majeures pour gérer la nature non locale des opérateurs.

A. Définition d'un nouveau rayon capacitaire

Les auteurs introduisent le rayon capacitaire fractionnaire $R^s_{p,\gamma}(\Omega)$, défini comme le supremum des rayons $r$ tels qu'il existe une boule $B_r(x_0)$ dont la partie extérieure à $\Omega$ est "négligeable" au sens de la capacité fractionnaire relative :
$$\text{cap}^s_{p}(B_r(x_0) \setminus \Omega; B_{2r}(x_0)) \leq \gamma \, \text{cap}^s_{p}(B_r(x_0); B_{2r}(x_0)).$$
Cette notion permet de capturer la géométrie de $\Omega$ en ignorant les "trous" de capacité nulle.

B. Inégalités de Poincaré-Maz'ya asymétriques

Un obstacle technique majeur est que les inégalités de Poincaré locales classiques ne se transposent pas directement aux semi-normes fractionnaires sur des boules avec les bons comportements asymptotiques en $s$.

• Pour contourner cela, les auteurs introduisent une semi-norme asymétrique sur des "bandes" (strips) :
  $$[u]_{s,p}^{\text{strip}} := \left( \iint_{B_r(x_0) \times \mathbb{R}^N} \frac{|u(x) - u(y)|^p}{|x-y|^{N+sp}} \, dx dy \right)^{1/p}.$$
• Ils démontrent de nouvelles inégalités de type Maz'ya-Poincaré (Lemmes 4.4 et 4.11) utilisant cette semi-norme. Ces inégalités sont cruciales car elles préservent les comportements limites corrects :
  • Quand $s \searrow 0$, la constante se comporte comme $1/s$.
  • Quand $s \nearrow 1$, la constante se comporte comme $1/(1-s)$.
    Cela contraste avec les inégalités fractionnaires standards qui deviennent triviales ou perdent de la précision dans ces limites.

C. Recouvrement et estimation globale

Pour la borne inférieure, ils utilisent un recouvrement de $\mathbb{R}^N$ par des boules de rayon $r > R^s_{p,\gamma}(\Omega)$. Sur chaque boule, l'application de l'inégalité de Maz'ya-Poincaré asymétrique permet de contrôler la norme $L^q$ par la capacité du complémentaire de $\Omega$ dans la boule. La somme de ces contributions donne la borne globale.

Pour la borne supérieure, ils construisent des fonctions tests admissibles en utilisant des potentiels capacitaires lissés et des fonctions de coupure, exploitant la définition de la négligeabilité pour montrer que si le rayon capacitaire est infini, la constante de Poincaré s'annule.

3. Résultats Principaux

Les théorèmes principaux (Théorèmes 1.4 et 1.5) établissent l'équivalence suivante pour $1 \leq p < \infty$, $0 < s < 1$ et $p \leq q < p^*_s$ :

$$\sigma \, \gamma \left( \frac{1}{R^s_{p,\gamma}(\Omega)} \right)^{sp - N + \frac{Np}{q}} \leq \lambda^s_{p,q}(\Omega) \leq C \left( \frac{1}{R^s_{p,\gamma}(\Omega)} \right)^{sp - N + \frac{Np}{q}}$$

où $\sigma$ et $C$ sont des constantes dépendant de $N, p, s, q, \gamma$.

Points clés des résultats :

1. Caractérisation de la positivité : L'espace de Sobolev homogène $D^{s,p}_0(\Omega)$ s'injecte continûment dans $L^q(\Omega)$ si et seulement si le rayon capacitaire fractionnaire $R^s_{p,\gamma}(\Omega)$ est fini (pour un $\gamma$ suffisamment petit).
2. Optimalité asymptotique : Les constantes $\sigma$ et $C$ sont optimales en termes de dépendance en $s$ :
   • $\sigma, C \sim 1/s$ quand $s \to 0$.
   • $\sigma, C \sim 1/(1-s)$ quand $s \to 1$.
3. Cas particulier $p=q=1$ (Constante de Cheeger) : Le résultat fournit une caractérisation optimale de la positivité de la constante de Cheeger fractionnaire $h_s(\Omega)$ en fonction de $R^s_{1,\gamma}(\Omega)$. Contrairement au cas $p>1$, pour $p=1$, le seuil de négligeabilité $\gamma_0$ peut être pris égal à 1, rendant le résultat optimal sur tout le spectre de $\gamma$.
4. Cas $p=q=2$ (Laplacien Fractionnaire) : Les résultats sont nouveaux même pour la première valeur propre du Laplacien fractionnaire avec conditions aux limites de Dirichlet non locales.

4. Contributions Techniques et Nouvelles

• Inégalités de Poincaré-Wirtinger fractionnaires : Les auteurs établissent de nouvelles estimations de type Poincaré-Wirtinger avec des constantes optimales en $s$ (Lemmes 4.2 et 4.9).
• Analyse des limites singulières : Une contribution majeure est la gestion rigoureuse des limites $s \to 0$ et $s \to 1$. L'article montre pourquoi les approches directes échouent et comment la semi-norme asymétrique résout ce problème.
• Lien Capacité-Perimètre : Une extension non locale de la relation entre la capacité 1 et le périmètre (Proposition 2.9) est démontrée, reliant la capacité fractionnaire à la notion de périmètre fractionnaire $P_s$.

5. Signification et Impact

Ce travail comble un vide important dans la théorie spectrale des opérateurs non locaux.

• Géométrie Spectrale : Il fournit un outil géométrique (le rayon capacitaire fractionnaire) pour prédire le comportement spectral (positivité des valeurs propres) d'ouverts très irréguliers, y compris ceux avec des trous de capacité nulle.
• Unification Local/Non-Local : Il établit un pont rigoureux entre les résultats classiques de Maz'ya (cas local) et le monde fractionnaire, en montrant que la structure capacitaire sous-jacente reste la même, mais nécessite une adaptation fine des constantes pour préserver les limites.
• Applications : Ces bornes sont essentielles pour l'étude de la régularité des extrémales, des inégalités de type Hardy et Faber-Krahn, et pour la compréhension de la convergence des problèmes fractionnaires vers leurs limites locales ou non locales.

En résumé, cet article propose une théorie robuste et optimale pour l'estimation des constantes de Poincaré-Sobolev fractionnaires, en surmontant les difficultés techniques liées à la non-localité et aux limites singulières du paramètre $s$.