Some Structures arising from the Farey Fractal

Titolo: Alcune Strutture che sorgono dal Frattale di Farey

Autore: Shai Haran
Data: 24 marzo 2026 (Nota: il documento è datato nel futuro, suggerendo un contesto speculativo o proiettivo).

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1. Il Problema e il Contesto

Il paper esplora le connessioni profonde tra la struttura degli insiemi di numeri razionali positivi (rappresentati come coppie di interi coprimi), le successioni di Fibonacci, l'espansione di Zeckendorf e la geometria dell'albero di Stern-Brocot.

L'obiettivo principale è studiare la forma delle successioni di Farey, definite come l'insieme $C(R) = \{(x, y) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \mid \gcd(x, y) = 1, x + y \leq R\}$. L'autore osserva che analizzare la geometria di questo insieme rivela una struttura ricorsiva legata all'espansione di Zeckendorf di $R$ come somma di numeri di Fibonacci non consecutivi.

Il problema centrale è comprendere la transizione tra due mondi:

1. I "Numeri Fibonadici": un insieme totalmente sconnesso e localmente compatto (pro-finito) ottenuto identificando $\phi^2 \leftrightarrow \phi + 1$ (dove $\phi$ è la sezione aurea).
2. Il Continuo dei numeri reali non negativi: ottenuto estendendo l'identificazione a serie infinite, permettendo di rappresentare l'intero continuum $\mathbb{R}_{\geq 0}$.

L'autore propone di studiare lo spazio $X = \{(x, y) \in \mathbb{N}^+ \times \mathbb{N}^+ \mid \gcd(x, y) = 1\}$ (isomorfo a $\mathbb{Q}^+$) non solo come gruppo abeliano libero sui primi, ma come una struttura geometrica più ricca, analizzando le sue "frattalità" attraverso livelli definiti da $R$.

2. Metodologia

La metodologia si basa su un approccio combinatorio-algebrico che unisce teoria dei numeri, dinamica simbolica e teoria degli operadi.

• Espansione di Zeckendorf e Mappe $\pi$ e $j$:
  Si utilizza l'espansione unica di un intero $R$ in somma di numeri di Fibonacci ($R = \sum z_n f_n$) con vincoli di non-consecutività ($z_n z_{n+1} = 0$). Vengono definite due mappe fondamentali:

  • $\pi(R)$: cancella l'ultimo "cifra" dell'espansione (sposta gli indici).
  • $j(R)$: aggiunge uno zero all'inizio dell'espansione.
    Queste mappe non preservano l'addizione standard, ma i loro "coboundary" (differenze) assumono valori limitati in $\{-1, 0, 1\}$.

• Albero di Stern-Brocot e Grafo di Farey:
  L'insieme $X$ è identificato con il monoid libero $SL_2(\mathbb{N})$ generato da due matrici. La struttura ad albero binario planare radicato è costruita considerando ogni nodo $v$ come il "mediante" di un padre inferiore $v_-$ e un padre superiore $v_+$.
  Vengono definiti i "sotto-alberi finiti" $C(R)$ e i loro "punti di diramazione" $\Phi_c$.

• Livelli e Base Asintotica:
  Si definisce una stratificazione di $X$ in livelli $\ell(n, R)$ basata sulla norma $|v|_k$ (che segue la ricorrenza di Fibonacci). Per $R$ fissato, l'insieme $C(R)$ è approssimato da livelli che diventano stabili man mano che si considera la proiezione $\pi$.

• Costruzione dei Numeri Fibonadici ($\mathcal{F}$):
  Si definisce l'insieme $\mathcal{F}$ come il limite inverso di $\mathbb{N}$ rispetto alla mappa $\pi$. Gli elementi di $\mathcal{F}$ sono sequenze binarie $(z_n)$ senza due 1 consecutivi. Su $\mathcal{F}$ viene definita una metrica basata su $\phi^{\delta(z, z')}$, rendendolo uno spazio completo.

• Rig (Anello senza negativi) e Normalizzazione:
  Viene introdotto un rig di serie di Laurent a coefficienti naturali $\mathbb{N}((t))$. Una mappa di valutazione $V_\phi$ assegna a ogni serie il suo valore reale sostituendo $t$ con $\phi$.
  Viene definito un processo di normalizzazione (lemmi di normalizzazione) che trasforma qualsiasi serie in una forma "OK" (senza 1 consecutivi e senza coefficienti $\geq 2$) preservando il valore $V_\phi$. Questo processo converge verso una proiezione canonica $P: B \to \mathcal{F}$.

3. Risultati Chiave

A. Struttura Algebrica dei Numeri Fibonadici

L'insieme $\mathcal{F}$, dotato delle operazioni indotte dalla proiezione $P$ (somma e prodotto di serie normalizzate), forma un rig commutativo.

• L'elemento neutro additivo è la sequenza nulla.
• L'elemento neutro moltiplicativo è la sequenza con 1 in posizione 0.
• Esiste un'identificazione fondamentale tra il quoziente di $\mathcal{F}$ rispetto a una relazione di equivalenza generata da una specifica trasformazione di sequenze e l'insieme dei numeri reali non negativi $\mathbb{R}_{\geq 0}$.
• Avvertenza: Le operazioni su $\mathcal{F}$ non sono continue rispetto alla metrica naturale, il che implica una discontinuità strutturale tra la rappresentazione discreta (Fibonadica) e il continuo.

B. Dominio Fondamentale e Ordine

Si definisce un dominio fondamentale $D \subset \mathcal{F}$ (le "unità principali" con $z_0=1$ e $z_n=0$ per $n>0$) che agisce come rappresentante unico per le classi di equivalenza sotto l'azione delle potenze di $\Phi$ (l'immagine di $t$).

• $D$ è isomorfo all'intervallo $[1, \phi]$ tramite la mappa di valutazione $V_\phi$.
• Su $D$ è definito un ordine totale che preserva l'ordine dei valori reali.

C. Frattalità e Albero delle Configurazioni

L'autore costruisce un albero planare radicato $B$ le cui nodi sono le "configurazioni" $b(n, z)$ (insiemi di punti nell'albero di Stern-Brocot che formano la base a livello $n$).

• Esiste una biiezione tra l'insieme $D$ (e quindi i numeri reali in $[1, \phi]$) e l'insieme dei percorsi infiniti in questo albero $B$.
• Le configurazioni $b(n, z)$ sono determinate dai valori di norma $\phi$-normale $|v|_\phi = |M(v)| + \phi^{-1}|F(v)|$.
• L'insieme dei punti $Z(z)$ che determinano la configurazione mostra una crescita lineare, rivelando la struttura frattale sottostante.

D. Connessione con l'Espansione di Zeckendorf

Il lavoro dimostra come l'espansione in base $\phi$ (di Bergman) fornisca l'asintotica precisa per l'espansione di Zeckendorf. Un elemento $v \in X$ è rilevante per il livello $n$ se e solo se la sua norma $\phi$-normale cade nell'intervallo $[\phi^{n-1}, \phi^n]$.

4. Contributi Principali

1. Unificazione Discreto-Continuo: Fornisce un quadro rigoroso per vedere i numeri reali come limiti di strutture discrete basate su Fibonacci, definendo un anello (rig) di "numeri Fibonadici" che, sebbene pro-finito, codifica l'aritmetica dei reali.
2. Geometria dell'Albero di Stern-Brocot: Introduce una stratificazione dinamica dell'albero di Stern-Brocot basata su livelli asintotici, collegando la teoria dei numeri (Farey) alla dinamica simbolica.
3. Operadi e Strutture Gerarchiche: Dimostra l'esistenza di una struttura di operade sull'insieme dei sotto-alberi finiti, permettendo di costruire livelli inferiori da quelli superiori tramite sostituzioni controllate (medianti).
4. Nuova Metrica e Topologia: Propone una metrica naturale su spazi di sequenze binarie vincolate che rende completo lo spazio e collega la distanza tra sequenze al valore reale che rappresentano.

5. Significato e Implicazioni

Il lavoro di Haran ha un significato profondo nella teoria dei numeri e nella dinamica simbolica:

• Teoria dei Numeri: Offre una nuova prospettiva sulla distribuzione dei numeri razionali e sulla struttura dei numeri interi attraverso la lente della sezione aurea, generalizzando l'espansione di Zeckendorf.
• Frattali e Dinamica: Il "Frattale di Farey" descritto non è solo un oggetto visivo, ma una struttura algebrica profonda dove le operazioni aritmetiche (somma, prodotto) emergono da regole di normalizzazione su sequenze binarie.
• Matematica Pro-finita: La costruzione dei "Numeri Fibonadici" come limite inverso suggerisce analogie con i numeri $p$-adici, ma basate sulla base $\phi$ e sulla successione di Fibonacci, aprendo potenziali nuove direzioni di ricerca in analisi non-standard e geometria aritmetica.
• Connessione con la Fisica Teorica: La menzione di strutture "pro-finite" e la natura discreta ma approssimante del continuo potrebbero avere risonanze in teorie fisiche che tentano di unificare il discreto e il continuo (es. gravità quantistica a loop o teorie di reti).

In sintesi, il paper stabilisce un ponte rigoroso tra la combinatoria delle successioni di Fibonacci, la geometria degli alberi di Stern-Brocot e l'analisi reale, rivelando che la struttura dei numeri razionali e reali può essere "decodificata" attraverso una gerarchia di livelli Fibonadici.