Resumo Técnico: Estruturas Originadas do Fractal de Farey

Autor: Shai Haran
Data: 24 de Março de 2026
Área: Teoria dos Números, Sistemas Dinâmicos, Teoria de Grafos e Estruturas Algébricas.

1. Problema e Motivação

O artigo investiga a estrutura geométrica e algébrica subjacente às sequências de Farey e à árvore de Stern-Brocot. O problema central é entender como a forma das sequências de Farey (representadas como uma árvore binária plana enraizada $C(R)$ de pares de inteiros coprimos $(x, y)$ com soma limitada por $R$) se relaciona com:

1. A expansão de Zeckendorf de inteiros (soma de números de Fibonacci não consecutivos).
2. A distinção entre a estrutura discreta dos "números Fibonádicos" (inteiros generalizados) e o contínuo dos números reais não negativos.
3. A construção de uma estrutura algébrica (um rig ou anel sem negativos) sobre o conjunto de sequências binárias que codificam essas expansões, permitindo uma análise assintótica da árvore de Farey.

O autor propõe estudar o espaço $X = \{(x, y) \in \mathbb{N}_+ \times \mathbb{N}_+ \mid \gcd(x, y) = 1\}$ (isomorfo a $\mathbb{Q}_+$) não apenas como um grupo abeliano livre sobre os primos, mas explorando sua estrutura de árvore e suas conexões com a razão áurea $\phi$.

2. Metodologia

A abordagem combina técnicas de teoria dos números, combinatória e álgebra abstrata:

• Expansão de Zeckendorf e Operadores de Deslocamento: Utiliza-se a expansão única de inteiros $R$ como soma de números de Fibonacci ($R = \sum z_n f_n$). São definidos dois operadores fundamentais:

  • $\pi(R)$: Remove o último dígito da expansão (equivalente a $R \mapsto \sum z_n f_{n-1}$).
  • $j(R)$: Adiciona um zero à expansão (equivalente a $R \mapsto \sum z_n f_{n+1}$).
  • Analisam-se os "cobordos" (diferenças) desses operadores, que assumem valores em $\{-1, 0, 1\}$.

• Árvore de Stern-Brocot e Grafo de Farey: A estrutura da árvore é formalizada através do monóide livre $SL_2(\mathbb{N})$. Os vértices são pares coprimos, e as arestas representam a relação de "mãe" e "filhos" (mediante a soma vetorial). Define-se uma métrica baseada na norma $|v|_k$ que satisfaz a recorrência de Fibonacci.

• Construção de Limites Inversos (Números Fibonádicos): Define-se o conjunto $\mathcal{F}$ dos números Fibonádicos como o limite inverso de $\mathbb{N}$ sob o operador $\pi$. Isso corresponde a sequências binárias $(z_n)$ sem "11" consecutivos, estendidas a índices negativos.

• Álgebra de Séries de Laurent e Homomorfismos: Introduz-se o rig (anel sem negativos) de séries de Laurent $N((t))$ e um subconjunto $B$ onde a "valor $\phi$" ($V_\phi(z) = \sum z_n \phi^n$) é finito.

  • Define-se um homomorfismo de rig $V_\phi: B \to \mathbb{R}_{\geq 0}$.
  • Estabelece-se um processo de "normalização" (movos A e B) para transformar qualquer sequência com valor $\phi$ finito em uma sequência de Zeckendorf válida (sem 1 consecutivos), definindo uma projeção $P: B \to \mathcal{F}$.

• Estrutura de Operador e Domínio Fundamental: Estuda-se a ação de multiplicação por $\Phi$ (deslocamento de dígitos) em $\mathcal{F}$ e define-se um domínio fundamental $D$ (unidades principais) que mapeia para o intervalo $[1, \phi]$.

3. Contribuições Chave e Resultados

A. Os Números Fibonádicos ($\mathcal{F}$)

O autor define $\mathcal{F}$ como um conjunto de sequências binárias que formam um rig comutativo.

• Operações: A adição e multiplicação em $\mathcal{F}$ são definidas via a projeção $P$ da soma e produto de séries de Laurent.
• Propriedade Topológica: $\mathcal{F}$ é um espaço métrico completo e totalmente desconectado (pro-finito), mas o homomorfismo $V_\phi$ mapeia $\mathcal{F}$ para os reais não negativos $\mathbb{R}_{\geq 0}$.
• Não-Continuidade: Um resultado crucial é que as operações de adição e multiplicação em $\mathcal{F}$ não são contínuas em relação à topologia induzida pela métrica $\phi$. Isso é demonstrado por limites onde a ordem das operações altera o resultado (ex: $\lim (1^- + \Phi^{-n}) \neq 1^- + \lim \Phi^{-n}$).

B. Relação entre Discreto e Contínuo

O artigo estabelece uma ponte precisa entre a expansão de Zeckendorf (discreta) e a expansão em base $\phi$ (contínua):

• A norma $\phi$ de um vértice $v$ na árvore, definida como $|v|_\phi = |M(v)| + \phi^{-1}|F(v)|$, onde $M(v)$ e $F(v)$ são a "mãe" e o "pai" na árvore, governa a distribuição dos vértices.
• A camada $n$ da árvore, $\ell(n, z)$, corresponde exatamente aos vértices cuja norma $\phi$ está no intervalo $[\phi^{n-1}, \phi^n)$.

C. A Árvore de Configurações ($B$)

O autor constrói uma árvore plana enraizada $B$ cujos vértices são as "bases" $b(n, z)$ (subconjuntos finitos da árvore de Farey).

• Existe uma bijeção entre o domínio fundamental $D$ (sequências de Zeckendorf infinitas) e o conjunto de caminhos infinitos na árvore $B$.
• A estrutura de $B$ revela uma hierarquia de configurações que codificam a geometria assintótica da árvore de Farey.
• Os pontos de ramificação na árvore $B$ correspondem a mudanças na estrutura da expansão de Zeckendorf, exibindo um crescimento linear do conjunto $Z(z)$ (pontos onde a função de nível não aumenta).

D. Identificação com o Intervalo Real

O conjunto quociente $\mathcal{F} / \sim$ (onde $\sim$ é gerado por uma relação de equivalência específica em sequências finitas) é identificado com $\mathbb{R}_{\geq 0}$. O domínio fundamental $D$ mapeia ordenadamente para o intervalo $[1, \phi]$, e a ação de $\Phi^n$ corresponde à multiplicação por $\phi^n$.

4. Significado e Implicações

1. Unificação de Estruturas: O trabalho fornece uma estrutura algébrica unificada que conecta a aritmética dos inteiros (via Fibonacci/Zeckendorf) com a geometria dos números reais e a teoria de grafos (árvores de Farey/Stern-Brocot).
2. Nova Perspectiva sobre o Fractal de Farey: Ao invés de estudar apenas a distribuição de pontos, o autor introduz uma "dinâmica de camadas" baseada na norma $\phi$, permitindo analisar a árvore de Farey como um objeto fractal com auto-similaridade governada pela razão áurea.
3. Álgebra Não-Contínua: A descoberta de que o anel de números Fibonádicos possui operações não contínuas é um resultado contra-intuitivo e significativo para a teoria de anéis topológicos e sistemas dinâmicos, sugerindo que a transição entre a estrutura discreta (Zeckendorf) e a contínua (Reais) é mais complexa do que um simples limite topológico.
4. Aplicações Potenciais: A estrutura de rig e a árvore de configurações podem ter aplicações em teoria da informação (codificação de inteiros), sistemas dinâmicos simbólicos e na compreensão de estruturas hierárquicas em matemática pura.

Em suma, o artigo redefine a compreensão da árvore de Farey, mostrando que ela não é apenas um grafo de inteiros, mas a manifestação geométrica de uma estrutura algébrica rica (os números Fibonádicos) que codifica a relação entre a adição de inteiros e a multiplicação pela razão áurea.