🔢 mathematics

Some Structures arising from the Farey Fractal

Dit werk onderzoekt nieuwe rekenkundige en combinatorische structuren die voortvloeien uit de wisselwerking tussen Farey-grafen, Fibonacci-uitbreidingen en operadische constructies, met name door de introductie van Fibonadische getallen als een inverse limiet onder de Zeckendorf-verschuiving.

Oorspronkelijke auteurs: Shai Haran

Gepubliceerd 2026-03-24

📖 5 min leestijd🧠 Diepgaand

CC BY 4.0

Oorspronkelijke auteurs: Shai Haran

Oorspronkelijk artikel gelicentieerd onder CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dit is een AI-gegenereerde uitleg van het onderstaande artikel. Het is niet geschreven of goedgekeurd door de auteurs. Raadpleeg het oorspronkelijke artikel voor technische nauwkeurigheid. Lees de volledige disclaimer

De Gouden Slang en het Oneindige Bos: Een Reis door de Wiskunde

Stel je voor dat wiskunde niet alleen gaat over getallen die je telt, maar ook over vormen en patronen die zich in de natuur herhalen. Dit artikel van Shai Haran gaat over een heel speciaal soort patroon dat verborgen zit in de getallen, een patroon dat te maken heeft met de Gouden Snede (een verhouding die je vaak ziet in schelpen, bloemen en zelfs in de menselijke anatomie).

De auteur probeert een brug te slaan tussen twee werelden:

De wereld van hele getallen (1, 2, 3...) die we kunnen tellen.
De wereld van reële getallen (zoals 3,14159...) die een continuüm vormen, zoals een vloeiende rivier.

Hier is hoe hij dat doet, stap voor stap:

1. De Gouden Trappen (Fibonacci)

We beginnen met de bekende Fibonacci-getallen: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... Elke stap is de som van de twee vorige.

De Analogie: Stel je een trap voor. Je kunt alleen opstappen door twee treden tegelijk te nemen (1+1=2, 1+2=3, etc.).
Zeckendorf-expansie: Het paper laat zien dat elk getal op een unieke manier geschreven kan worden als een som van deze Fibonacci-getallen, maar met één belangrijke regel: je mag nooit twee opeenvolgende treden gebruiken.
- Voorbeeld: In plaats van $3 + 2$ (wat niet mag, want 2 en 3 zijn buren), gebruik je $5$.
- Dit is als het bouwen van een huis met alleen specifieke, niet-burenende bakstenen.

2. Het Bos van de Buren (De Farey Boom)

Nu kijken we naar paren getallen $(x, y)$ die geen gemeenschappelijke deler hebben (zoals 3 en 4, maar niet 2 en 4). Dit noemen ze de "Farey Boom".

De Analogie: Stel je een gigantisch, oneindig bos voor. De wortel is het punt $(1,1)$ $(1, 1)$ . Elke boomtak splitst zich in twee nieuwe takken.
- Als je op een tak staat, kun je naar links of rechts.
- De "moeder" van een tak is de tak waar hij vandaan komt.
- De "vader" en "moeder" van een nieuw punt worden gebruikt om het nieuwe punt te berekenen (een wiskundig trucje genaamd mediant).
Dit bos is niet willekeurig; het volgt een strikte orde die precies overeenkomt met de Fibonacci-regels.

3. De Twee Soorten Getallen: De "Fibonadische" Wereld

Hier wordt het spannend. De auteur introduceert een nieuw soort getalstelsel: de Fibonadische Getallen.

De Idee: Normaal gesproken tellen we in machten van 10 (1, 10, 100...). Hier tellen we in machten van de Gouden Snede ( $\phi$ ).
Het Verschil:
- Versie A (De Discrete Wereld): We kijken alleen naar getallen die eindigen. Dit is als een digitale foto: scherpe pixels, geen vervaging. Dit zijn de "Fibonadische getallen". Ze zijn heel gescheiden van elkaar.
- Versie B (De Continue Wereld): We kijken naar getallen die oneindig doorlopen. Dit is als een analoge film: vloeiend en continu. Dit leidt tot de gewone reële getallen (zoals $\pi$ of $\sqrt{2}$ ).
De Magische Transformatie: De auteur laat zien dat je van Versie A naar Versie B kunt gaan door een specifieke "rekenregels" toe te passen. Het is alsof je een pixelated afbeelding (Versie A) langzaam inzoomt totdat het een vloeiende lijn wordt (Versie B).

4. De "Reiniging" van Getallen

Hoe maak je van een rommelige som van getallen een nette, gestructureerde vorm?

De Analogie: Stel je een rommelige kamer voor met veel dozen (getallen). Je wilt alles opruimen volgens de regels: "Geen twee dozen naast elkaar".
De auteur beschrijft een proces (noem het de "Fibonacci-stofzuiger") dat rommelige combinaties omzet in de juiste, nette vorm.
- Als je twee buren hebt (bijv. twee keer de Fibonacci-stap 5), vervang je die door één grotere stap (Fibonacci-stap 8).
- Dit proces zorgt ervoor dat elke getalcombinatie uiteindelijk uitkomt op één unieke, "schone" vorm.

5. Het Oneindige Labyrint (De Boom van Configuraties)

Ten slotte kijkt de auteur naar hoe deze structuren zich gedragen als je oneindig diep in het bos kijkt.

De Analogie: Stel je een boomtak voor die zich oneindig blijft vertakken. Elke tak vertegenwoordigt een specifieke manier om getallen te ordenen.
De auteur toont aan dat deze boom een fundamentele structuur heeft. Als je een bepaalde tak kiest (een "fundamenteel domein"), kun je de hele boom daaruit afleiden.
Het is alsof je een kaart hebt van een labyrint. Als je weet hoe de eerste paar gangen eruitzien, kun je precies voorspellen hoe het hele labyrint eruitziet, zelfs als het oneindig groot is.

Waarom is dit belangrijk?

Dit paper is niet alleen een raadsel voor wiskundigen. Het laat zien dat er een diepe, verborgen orde is in de manier waarop getallen met elkaar verbonden zijn.

Het verbindt discrete wiskunde (tellen, hele getallen) met continue wiskunde (meetkunde, reële getallen).
Het suggereert dat de "Gouden Snede" ( $\phi$ ) niet zomaar een mooi getal is, maar de bouwsteen van een fundamentele structuur in de natuur van de getallen zelf.

Kortom: Shai Haran heeft een nieuwe manier gevonden om naar getallen te kijken. Hij laat zien dat als je de juiste "bril" opzet (de Fibonacci-regels en de Gouden Snede), de chaotische wereld van getallen zich ordent in een prachtige, oneindige boomstructuur die zowel het discrete als het continue omvat. Het is als het ontdekken dat de muziek van de getallen eigenlijk één symfonie is, gespeeld op een instrument dat we nog nooit eerder hadden gehoord.

Titel: Enige Structuren die voortkomen uit de Farey-Fractaal

Auteur: Shai Haran
Datum: 24 maart 2026

1. Probleemstelling en Context

Het paper onderzoekt de diepere structurele relaties tussen de vorm van Farey-rijen, de Zeckendorf-expansie (het schrijven van getallen als sommen van niet-opvolgende Fibonacci-getallen) en de getaltheorie. De kernvraag is hoe men de structuur van de verzameling van rationale getallen $X = \{(x, y) \in \mathbb{N}_+ \times \mathbb{N}_+ \mid \gcd(x, y) = 1\}$ (isomorf met $\mathbb{Q}_+$ ) kan begrijpen door te kijken naar de "Farey-fractaal" en de daaruit voortkomende hiërarchieën.

Traditioneel wordt de relatie tussen de Gulden Snede $\phi$ en Fibonacci-getallen gezien via de identiteit $\phi^2 = \phi + 1$ . Het paper onderscheidt twee benaderingen:

De Fibonadische getallen: Een totaal onverbonden, lokaal compacte (pro-finite) structuur die ontstaat door $\phi^{n+1} \leftrightarrow \phi^n + \phi^{n-1}$ te identificeren.
Het continuüm: De verzameling van niet-negatieve reële getallen, die ontstaat door ook de expansie $\phi \leftrightarrow \sum_{j \ge 0} \phi^{-2j}$ te identificeren.

Het doel is om een algebraïsche en meetkundige brug te slaan tussen deze discrete structuren (Farey-bomen) en het continue domein, en om een nieuwe algebraïsche structuur (een "rig") te definiëren op de Fibonadische getallen.

2. Methodologie

De auteur hanteert een combinatie van combinatorische getaltheorie, theorie van bomen (Stern-Brocot en Farey-grafieken) en algebraïsche structuren (rigs en inverse limieten).

Farey- en Stern-Brocot Bomen: De verzameling $X$ wordt geïdentificeerd met de knopen van een planair binair wortelboom. De operatoren $\pi$ (verwijder de laatste cijfer in Zeckendorf-expansie) en $j$ (voeg een nul toe) worden gebruikt om de diepte en de structuur van deze bomen te analyseren.
Inverse Limieten: De Fibonadische getallen $\mathcal{F}$ worden gedefinieerd als de inverse limiet van $\mathbb{N}$ onder de afbeelding $\pi$ . Dit creëert een ruimte van oneindige binaire rijen zonder opeenvolgende enen.
Valuatie en Normalisatie: Er wordt een valuatie $V_\phi$ gedefinieerd die een Fibonadisch getal $z = \sum z_n \phi^n$ afbeeldt op een reëel getal. Door het gebruik van een "normalisatieproces" (met moves A en B) worden willekeurige rijen met eindige $\phi$ -waarde omgezet naar de unieke Zeckendorf-expansie (de projectie $P$ ).
Operad-structuur: De verzameling van eindige deelbomen $C(R)$ wordt geanalyseerd via een operad-structuur, waarbij lagen (layers) van het bomenstelsel worden geïsoleerd op basis van de grootte van de vectoren.

3. Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

A. De Fibonadische Getallen ( $\mathcal{F}$ ) als Rig

Een van de centrale resultaten is de constructie van de verzameling $\mathcal{F}$ van Fibonadische getallen als een commutatieve rig (een ring zonder negatieve elementen).

Definitie: $\mathcal{F}$ bestaat uit rijen $(z_n) \in \{0,1\}^{\mathbb{Z}}$ met eindige ondersteuning naar links en zonder opeenvolgende enen.
Operaties: Optelling en vermenigvuldiging worden gedefinieerd via de projectie $P$ op de normalisatie van de som/produkt van de bijbehorende Laurent-reeksen.
Isomorfisme: Er is een rig-homomorfisme $V_\phi: \mathcal{F} \to \mathbb{R}_{\ge 0}$ dat de $\phi$ -waarde behoudt. De quotiëntstructuur $\mathcal{F}/\sim$ (waarbij $z \sim z^-$ voor een specifieke transformatie) is isomorf met $\mathbb{R}_{\ge 0}$ .
Discontinuïteit: De auteur waarschuwt dat de operaties op $\mathcal{F}$ niet continu zijn ten opzichte van de metriek die door $\phi$ wordt gegenereerd.

B. De Schil-structuur van de Farey-Fractaal

Het paper introduceert een hiërarchische decompositie van de verzameling $X$ (de rationale getallen) in "lagen" ( $\ell(n, z)$ ) en "basissen" ( $b(n, z)$ ).

Lagen: Een element $v \in X$ behoort tot laag $n$ als zijn "Fibonadische norm" $|v|_\phi$ binnen een specifiek interval valt: $|v|_\phi \in [\phi^{n-1}, \phi^n)$ .
De Basis $b(n, z)$ : Dit is de verzameling van alle $v$ die "onder" een bepaalde drempel vallen. De basis $b(n, z)$ hangt af van de Fibonadische parameter $z$ .
De Boom van Configuraties: De verzameling van alle mogelijke basissen $B(n)$ vormt zelf een planair wortelboom. De auteur toont aan dat er een bijectie is tussen de elementen van het fundamentele domein $D$ (een subset van $\mathcal{F}$ ) en de paden in deze configuratieboom.

C. De Rol van de Gulden Snede en de Norm

De auteur definieert een specifieke norm $|v|_\phi = |M(v)| + \phi^{-1}|F(v)|$ , waarbij $M(v)$ en $F(v)$ respectievelijk de "Moeder" en "Vader" van een knoop in het Stern-Brocot-bomen zijn.

Deze norm koppelt de discrete structuur van het bomenstelsel direct aan de meetkunde van de Gulden Snede.
De asymptotische groei van de Zeckendorf-expansie wordt hiermee gekwantificeerd: de diepte van een knoop in het bomenstelsel correspondeert met de grootte van zijn $\phi$ -norm.

D. De Boom van Configuraties (Visualisatie)

Het paper visualiseert de eerste niveaus van de boom $B(n)$ , waarbij wordt aangetoond hoe de verzameling van mogelijke configuraties groeit.

De wortel is uniek.
De boom vertakt zich volgens een specifiek patroon dat wordt bepaald door de "OK"-conditie van de Zeckendorf-expansie.
De auteur introduceert een ordening op deze boom die consistent is met de ordening op de Fibonadische getallen.

4. Significatie en Implicaties

Unificatie van Discreet en Continu: Het paper biedt een rigoureuze algebraïsche raamwerk (de rig $\mathcal{F}$ ) dat de overgang tussen de discrete wereld van Fibonacci-expansies en het continue veld van reële getallen beschrijft. Het toont aan dat de reële getallen kunnen worden gezien als een quotiënt van deze discrete structuur.
Nieuwe Inzicht in Farey-rijen: Door de Farey-rijen te bekijken als een fractaal structuur met een operad-structuur, biedt het paper nieuwe tools om de verdeling van rationale getallen te analyseren. De "lagen" geven een manier om de dichtheid van rationale getallen te kwantificeren op basis van hun Fibonacci-afstand.
Toepassing in Getaltheorie: De methode van "Fibonadische getallen" en de bijbehorende metriek kan potentieel nieuwe inzichten bieden in problemen rondom Diophantische benadering en de verdeling van priemgetallen (gezien de initiële motivatie om $X$ te bestuderen in plaats van alleen priemgetallen).
Algebraïsche Structuur: Het definiëren van een rig op de inverse limiet van $\mathbb{N}$ is een theoretische bijdrage die de algebraïsche eigenschappen van getalstelsels gebaseerd op niet-standaard bases (zoals de Fibonacci-basis) verder uitbreidt.

Conclusie

Shai Haran presenteert in dit paper een diep wiskundig raamwerk dat de Farey-fractaal, de Zeckendorf-expansie en de Gulden Snede verbindt via de constructie van Fibonadische getallen. Het werk transformeert de studie van de structuur van rationale getallen van een puur combinatorische exercitie naar een algebraïsche en meetkundige theorie, waarbij de discrete bomenstructuur direct correspondeert met de continuüm-eigenschappen van $\mathbb{R}_{\ge 0}$ via de Gulden Snede.