Counting $2\times 2$ matrices with fixed determinant and bounded coefficients

1. Il Problema

Il lavoro si concentra sul problema classico della teoria dei numeri di stimare il numero di matrici $k \times k$ a coefficienti interi, con determinante fissato $n \neq 0$ e con coefficienti limitati in valore assoluto da una soglia $X$.
Nello specifico, gli autori analizzano il caso $k=2$ utilizzando la norma del massimo (norma $L_\infty$), definita come $\|A\|_\infty = \max_{i,j} |A_{ij}|$.
Si vuole determinare l'asintotico di:
$$S_{2,\|\cdot\|_\infty}(n, X) = \#\{ A \in M_2(\mathbb{Z}) : \det(A) = n, \|A\|_\infty \le X \}$$

Mentre il caso della norma euclidea ($L_2$) è stato ampiamente studiato (lavori di Selberg, Duke-Rudnick-Sarnak), il caso della norma del massimo è più complesso a causa della mancanza di invarianza rotazionale. Recenti lavori di M. Afifurrahman (2024) avevano fornito le prime stime asintotiche con termini di errore per questo caso, ma con limiti nella precisione del termine di errore quando $X$ è grande rispetto a $n$.

2. Metodologia

Gli autori adottano un approccio analitico e combinatorio per derivare nuove stime. La metodologia si articola in due parti principali:

A. Dimostrazione del Teorema 1 (Stima Asintotica Generale)

Per ottenere una stima asintotica valida per $X \ge 1$, gli autori decompongono il problema in modo algebrico:

1. Decomposizione Simmetrica: Sfruttano la simmetria della matrice per esprimere il conteggio totale $S(n, X)$ in termini di insiemi di quadrupli $(a, b, q, r)$ che soddisfano $ar - bq = n$ con vincoli specifici su $|a|, |b|, |q|$ e $|r|$.
2. Scomposizione per Divisori: Il conteggio viene scomposto in base al massimo comun divisore $d$ tra i coefficienti e $n$. Si definisce un insieme $S_d$ che conta le soluzioni per un $d$ fissato.
3. Riduzione Modulare: Il problema viene trasformato in una ricerca di soluzioni a equazioni lineari modulari della forma $a r d/e - b q d = n d$.
4. Stima dei Termini Principali ed Errori:
   • Il termine principale è calcolato sommando su tutti i divisori, utilizzando proprietà della funzione di Eulero $\phi$ e della funzione zeta di Riemann.
   • Il termine di errore è gestito rimuovendo condizioni di congruenza specifiche e stimando il numero di soluzioni "sbagliate" o ai bordi, utilizzando stime classiche sulla funzione $\sigma_0(n)$ (numero di divisori) e funzioni $\omega(n)$.
5. Risultato Chiave: La dimostrazione evita tecniche di teoria ergodica o geometria dei numeri complesse, offrendo invece una prova più diretta e "breve" rispetto ai lavori precedenti.

B. Dimostrazione del Teorema 2 (Analisi del Caso Critico)

Per dimostrare che l'esponente $1/2 + \delta$ nel range di validità è ottimale, gli autori analizzano il caso limite dove $X = n^{1/2}$ e $n$ è un numero primo $p$ o il quadrato di un primo $p^2$.

1. Lemma del Principio dei Cassetti (Pigeonhole): Dimostrano un lemma che garantisce l'esistenza di coppie $(a, q)$ con $|a|, q < n^{1/2}$ tali che $aq^{-1} \equiv c \pmod n$ per ogni residuo $c$.
2. Conteggio Geometrico: Mappano i punti del dominio in $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Analizzano la sovrapposizione delle mappe per contare esattamente quante coppie soddisfano l'equazione $ar - bq = n$.
3. Confronto dei Termini Principali: Calcolano il termine principale in questo regime specifico e lo confrontano con la formula generale.

3. Risultati Chiave

Teorema 1 (Miglioramento dell'Asintotico)

Per ogni $\epsilon > 0$, $n \in \mathbb{N}$ e $X \ge 1$:
$$S_{2,\|\cdot\|_\infty}(n, X) = \frac{96 \sigma_{-1}(n)}{\pi^2} X^2 + O_\epsilon (\sigma_0(n) X \log X + n X^\epsilon)$$
Dove $\sigma_{-1}(n) = \sum_{d|n} d^{-1}$ e $\sigma_0(n)$ è il numero di divisori di $n$.

• Significato: Questo risultato migliora il termine di errore rispetto al lavoro di Afifurrahman e a quello successivo di Ganguly e Guria, specialmente quando $X \gg n$. Il termine di errore è uniforme sia in $n$ che in $X$.

Teorema 2 (Ottimalità del Soglia)

Per $n=p$ (primo) e $X=p^{1/2}$:
$$S_{2,\|\cdot\|_\infty}(p, p^{1/2}) = 4 \left( \frac{12}{\pi^2} - 1 \right) p + O(p^{1/2} \log p)$$
Per $n=p^2$ e $X=p$:
$$S_{2,\|\cdot\|_\infty}(p^2, p) = 4 \left( \frac{12}{\pi^2} - 1 \right) p^2 + O(p \log p)$$

• Osservazione Critica: La costante del termine principale in questo caso ($4(12/\pi^2 - 1)$) è diversa da quella del Teorema 1 ($96/\pi^2$).
• Implicazione: Questo dimostra che la formula asintotica del Teorema 1 non è valida quando $X \approx n^{1/2}$. Di conseguenza, la soglia $X \ge n^{1/2+\delta}$ menzionata nelle stime precedenti è un limite inferiore necessario e non riducibile.

4. Contributi e Significato

1. Prova Semplificata e Potenziata: Gli autori forniscono una dimostrazione più breve e diretta del risultato di Afifurrahman, ottenendo al contempo un termine di errore significativamente migliore (soprattutto per $X$ grandi).
2. Determinazione della Soglia Ottimale: Il contributo più originale è la dimostrazione che l'esponente $1/2$ nella relazione tra $X$ e $n$ è critico. Mostrando un cambiamento nella costante asintotica quando $X = n^{1/2}$, provano che non è possibile estendere la validità della formula principale a valori di $X$ più piccoli senza modificare la struttura della formula stessa.
3. Connessione con Problemi Adici: Il lavoro collega questo problema di conteggio matriciale a un analogo del "problema del denominatore minimo" nel contesto dei numeri $p$-adici, suggerendo nuove direzioni di ricerca per potenze superiori di numeri primi.
4. Uniformità: Le stime sono valide uniformemente al variare di $n$ e $X$, rendendole utili per applicazioni in teoria dei numeri dove entrambi i parametri possono tendere all'infinito in modo correlato.

In sintesi, questo articolo risolve un problema aperto sulla precisione delle stime asintotiche per matrici $2 \times 2$ con determinante fissato e norma del massimo, chiudendo il cerchio sulla validità della formula principale fino alla soglia teorica massima possibile.