Counting $2\times 2$ matrices with fixed determinant and bounded coefficients

Resumo Técnico do Artigo

1. O Problema

O artigo aborda um problema clássico na teoria dos números e na geometria dos números: estimar o número de matrizes $k \times k$ com coeficientes inteiros, determinante fixo $n \neq 0$, e cujos coeficientes são limitados em valor absoluto por um parâmetro $X$.

O foco específico deste trabalho é o caso $k=2$ (matrizes $2 \times 2$) utilizando a norma sup ($\|\cdot\|_\infty$), onde $\|A\|_\infty = \max(|a|, |b|, |c|, |d|)$ para uma matriz $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$. O objetivo é encontrar uma fórmula assintótica para o número de tais matrizes, denotado por $S_{2,\|\cdot\|_\infty}(n, X)$, quando $X \to \infty$.

O problema é desafiador porque, ao contrário da norma euclidiana (que possui invariância rotacional e permite o uso de ferramentas como a teoria espectral e formas automórficas), a norma sup define um domínio cúbico que não possui essa simetria, tornando as técnicas tradicionais de Selberg, Duke, Rudnick e Sarnak inaplicáveis diretamente.

2. Contexto e Trabalhos Anteriores

• Resultados Clássicos: Para a norma euclidiana, Selberg (década de 1970) e Duke, Rudnick e Sarnak (1993) estabeleceram fórmulas assintóticas com termos de erro bem compreendidos.
• Trabalho Recente (Afifurrahman): Em julho de 2024, M. Afifurrahman publicou um pré-impresso estabelecendo a primeira estimativa assintótica com termo de erro para a norma sup com determinante fixo não nulo. Seu resultado principal era:
  $$S_{2,\|\cdot\|_\infty}(n, X) = \frac{96\sigma_{-1}(n)}{\pi^2}X^2 + O\left(X^{o(1)} \max\left\{X^{5/3}, n\right\}\right)$$
  onde $\sigma_{-1}(n)$ é a soma dos divisores inversos de $n$.
• Limitações: O termo de erro de Afifurrahman, embora significativo, não era otimizado para todos os regimes de $X$ e $n$, especialmente quando $X$ é grande em relação a $n$.

3. Metodologia e Prova do Teorema 1

O primeiro objetivo do artigo é fornecer uma prova curta e alternativa do resultado de Afifurrahman, mas com um termo de erro significativamente melhorado.

Estratégia de Prova:

1. Decomposição do Problema: Os autores decompõem o conjunto de matrizes em subconjuntos baseados na relação entre os coeficientes. Eles definem $S_{leq}(n, X)$ (onde $|r| \le |q|$) e $S_{eq}(n, X)$ (onde $|r| = |q|$), relacionando o total $S(n, X)$ a essas partes via $S(n, X) = 2S_{leq}(n, X) - S_{eq}(n, X)$.
2. Soma sobre Divisores: O problema é transformado em uma soma sobre os divisores $d$ de $n$. Para cada divisor, eles analisam a equação diofantina $ar - bq = n$ sob restrições de limites.
3. Contagem Modular: A contagem é reduzida a contar soluções de congruências lineares da forma $a r \equiv n \pmod q$ (após simplificações algébricas).
4. Análise de Termos Principais e de Erro:
   • O termo principal é derivado da densidade de soluções de congruências, envolvendo a função totiente de Euler $\phi$ e a função zeta de Riemann, resultando no coeficiente $\frac{96\sigma_{-1}(n)}{\pi^2}X^2$.
   • O termo de erro é controlado rigorosamente, utilizando propriedades de funções multiplicativas e somas sobre divisores.

Resultado Principal (Teorema 1):
Os autores provam que, para qualquer $\epsilon > 0$:
$$S_{2,\|\cdot\|_\infty}(n, X) = \frac{96\sigma_{-1}(n)}{\pi^2}X^2 + O_\epsilon \left( \sigma_0(n) X \log X + n X^\epsilon \right)$$

• Melhoria: Este termo de erro é superior ao de Afifurrahman e ao de Ganguly e Guria (outubro 2024) em vários regimes.
• Uniformidade: O erro é uniforme em $n$ e $X$.
• Regime de Validação: A fórmula é válida e significativa mesmo quando $X$ é tão pequeno quanto $n^{1/2 + \delta}$.

4. Resultados de Limite e Otimização (Teorema 2)

O segundo grande contributo do artigo é demonstrar que o expoente $1/2 + \delta$ no regime de validade não pode ser reduzido arbitrariamente.

Descoberta:
Os autores mostram que quando $X = n^{1/2}$ (ou seja, o limite dos coeficientes é exatamente a raiz quadrada do determinante), o comportamento assintótico muda drasticamente dependendo da estrutura aritmética de $n$ (especificamente se $n$ é primo ou quadrado de primo).

Teorema 2:
Para $n = p$ (primo) ou $n = p^2$, e $X = n^{1/2}$:
$$S_{2,\|\cdot\|_\infty}(n, n^{1/2}) = 4 \left( \frac{12}{\pi^2} - 1 \right) n + O(n^{1/2} \log n)$$

Implicação Crítica:

• O coeficiente principal aqui é $4(\frac{12}{\pi^2} - 1)$, que é diferente do coeficiente $\frac{96\sigma_{-1}(n)}{\pi^2}$ encontrado no Teorema 1.
• Isso prova que a fórmula assintótica padrão (Teorema 1) falha quando $X = n^{1/2}$.
• Conclui-se que $X \approx n^{1/2}$ é um limiar crítico (threshold) abaixo do qual a estrutura aritmética de $n$ domina a contagem, alterando o termo principal.

Método para o Teorema 2:
Utilizaram o Princípio da Casa dos Pombos de Dirichlet em um conjunto de pares $(a, q)$ com $|a|, q < n^{1/2}$ para mostrar que a aplicação $T(a, q) = aq^{-1} \pmod n$ é sobrejetiva. Isso permite contar exatamente quantas matrizes existem nesse regime específico, revelando a mudança no termo principal.

5. Contribuições Chave e Significância

1. Prova Simplificada e Refinada: Oferecem uma demonstração mais direta e robusta do resultado de Afifurrahman, com um termo de erro mais forte ($O(n X^\epsilon)$ em vez de $O(X^{5/3})$ em certos regimes).
2. Identificação de um Limiar Crítico: A descoberta de que o termo principal da assintótica muda quando $X$ cai para $n^{1/2}$ é um resultado profundo. Mostra que a transição entre o comportamento "suave" (distribuição uniforme) e o comportamento "aritmético" (dependente da fatoração de $n$) ocorre exatamente nesse ponto.
3. Aplicabilidade: Os resultados são uniformes em $n$ e $X$, o que é crucial para aplicações em teoria dos números analítica onde $n$ e $X$ podem crescer simultaneamente.
4. Conexão com Problemas Abertos: O trabalho conecta-se ao "problema do denominador mínimo" em números $p$-ádicos, sugerindo novas direções de pesquisa para potências mais altas de primos e outros regimes de limites.

Conclusão

O artigo resolve uma questão aberta recente na contagem de matrizes inteiras com determinante fixo, refinando os termos de erro e, mais importante, mapeando os limites de validade das fórmulas assintóticas. Ele demonstra que, embora existam fórmulas gerais para $X$ grande, a estrutura fina da aritmética de $n$ impõe restrições fundamentais quando o domínio de busca ($X$) se aproxima da escala do determinante ($n^{1/2}$), exigindo tratamentos assintóticos distintos.