Counting $2\times 2$ matrices with fixed determinant and bounded coefficients

Resumen Técnico: Contando Matrices 2 × 2 con Determinante Fijo y Coeficientes Acotados

1. Planteamiento del Problema

El problema central de este trabajo es estimar el número de matrices cuadradas de tamaño $k \times k$ con coeficientes enteros, cuyo determinante es un entero fijo $n \neq 0$, y cuyos coeficientes están acotados en valor absoluto por un parámetro $X$.

Se define la función de conteo como:
$$S_{k, \|\cdot\|}(n, X) = \# \{ A \in M_k(\mathbb{Z}) : \det(A) = n, \|A\| \leq X \}$$

El artículo se centra específicamente en el caso $k=2$ utilizando la norma del supremo ($\|\cdot\|_\infty$), donde $\|A\|_\infty = \max_{i,j} |a_{ij}|$.

• Contexto: Problemas similares para la norma euclidiana ($\|\cdot\|_2$) han sido estudiados extensamente (Selberg, Duke-Rudnick-Sarnak), pero estos resultados dependen de la invariancia rotacional de la norma euclidiana y no son aplicables directamente a la norma del supremo.
• Antecedentes: Recientemente, M. Afifurrahman (2024) estableció las primeras estimaciones asintóticas con términos de error para este problema específico, válidas cuando $X$ y $n$ tienden a infinito.

2. Metodología

Los autores emplean un enfoque analítico y combinatorio para descomponer el problema de conteo en sumas sobre divisores y propiedades de congruencias.

• Descomposición Simétrica:
  Para una matriz $A = \begin{pmatrix} a & b \\ q & r \end{pmatrix}$ con $\det(A) = ar - bq = n$, los autores definen conjuntos basados en las restricciones de los coeficientes. Utilizan la simetría $S(n, X) = S(-n, X)$ para expresar el conteo total como:
  $$S(n, X) = 2S_{\leq}(n, X) - S_{=}(n, X)$$
  donde $S_{\leq}$ cuenta soluciones con $|r| \leq |q|$ y $S_{=}$ cuenta soluciones con $|r| = |q|$.

• Suma sobre Divisores y Estructura Modular:
  El conteo se descompone sumando sobre los divisores $d$ de $n$. Para cada divisor, se analizan las ecuaciones lineales diofánticas resultantes bajo condiciones de coprimalidad $(a, q) = e$.

  • Se reduce el problema a contar soluciones de congruencias de la forma $a r d/e \equiv n d a_e^{-1} \pmod{q_d}$.
  • Se separa el término principal (basado en la densidad de puntos enteros en regiones definidas) de los términos de error.

• Prueba de Optimalidad (Teorema 2):
  Para demostrar que el rango de validez de sus estimaciones es óptimo, los autores utilizan el Principio del Palomar de Dirichlet.

  • Construyen un conjunto $\Omega$ de pares $(a, q)$ con $|a|, q < n^{1/2}$.
  • Definen una aplicación $T(a, q) = a q^{-1} \pmod n$.
  • Demuestran que esta aplicación es sobreyectiva para $n=p$ o $n=p^2$, lo que permite contar exactamente cuántas parejas de puntos colisionan (es decir, satisfacen $ar - bq = \pm n$), revelando un comportamiento asintótico diferente cuando $X = n^{1/2}$.

3. Contribuciones Clave y Resultados Principales

A. Nuevo Teorema Asintótico con Mejor Término de Error (Teorema 1)
Los autores presentan una nueva prueba del resultado de Afifurrahman, logrando una mejora significativa en el término de error.

• Fórmula: Para $n \in \mathbb{N}$ y $X \geq 1$:
  $$S_{2, \|\cdot\|_\infty}(n, X) = \frac{96 \sigma_{-1}(n)}{\pi^2} X^2 + O_\epsilon (\sigma_0(n) X \log X + n X^\epsilon)$$
  Donde $\sigma_{-1}(n)$ es la suma de los inversos de los divisores de $n$, y $\sigma_0(n)$ es el número de divisores.

• Mejoras respecto a trabajos previos:

  1. Ahorro de potencia: Cuando $X \gg n$, el término de error ofrece un ahorro de potencia significativo en comparación con el resultado de Afifurrahman y la mejora posterior de Ganguly y Guria.
  2. Uniformidad: El término de error es uniforme en $n$ y $X$, permitiendo que ambos tiendan a infinito simultáneamente.
  3. Rango de validez: Las estimaciones son significativas incluso para $X$ tan pequeño como $n^{1/2 + \delta}$.

B. Límite Inferior del Exponente y Comportamiento Anómalo (Teorema 2)
El segundo resultado principal demuestra que el exponente $1/2 + \delta$ en el Teorema 1 es óptimo y no puede reducirse a $1/2$.

• Hallazgo: Cuando $X = n^{1/2}$ y $n$ es un primo $p$ o el cuadrado de un primo $p^2$, el término principal cambia de forma.
  $$S_{2, \|\cdot\|_\infty}(p, p^{1/2}) = 4 \left( \frac{12}{\pi^2} - 1 \right) p + O(p^{1/2} \log p)$$
• Significado: La constante en el término principal ($4(12/\pi^2 - 1)$) es diferente a la del Teorema 1 ($96/\pi^2$). Esto prueba que la fórmula asintótica general falla cuando $X = n^{1/2}$, estableciendo un umbral crítico para el comportamiento de las matrices.

4. Significado e Impacto

1. Avance en Teoría de Números: El trabajo cierra una brecha en la comprensión de la distribución de puntos enteros en variedades afines bajo normas no euclidianas (norma del supremo), un área donde los métodos clásicos de invariancia rotacional fallan.
2. Optimalidad de Estimaciones: Al demostrar que el exponente $1/2$ es una barrera natural donde cambia la estructura asintótica, el paper define los límites teóricos de lo que se puede esperar en problemas de conteo de matrices con determinante fijo.
3. Conexión con Problemas $p$-ádicos: Los autores señalan que sus resultados están relacionados con un análogo natural del "problema del denominador mínimo" en el contexto de los números $p$-ádicos, abriendo nuevas direcciones de investigación.
4. Aplicabilidad: La uniformidad de los términos de error en $n$ y $X$ es crucial para aplicaciones en teoría de números analítica donde ambos parámetros varían, como se menciona en referencias a trabajos sobre formas modulares y variedades de Shimura.

En conclusión, este artículo no solo refina las estimaciones existentes para matrices $2 \times 2$ con determinante fijo, sino que también caracteriza con precisión el umbral donde la asintótica cambia, proporcionando una comprensión más profunda de la geometría de números en espacios de matrices enteras.