Designing Control Barrier Functions Using a Dynamic Backup Policy

Sintesi Tecnica: Progettazione di Funzioni di Barriera di Controllo mediante una Politica di Backup Dinamica

Problema
Le Funzioni di Barriera di Controllo (CBF) sono strumenti consolidati per la sintesi di filtri di sicurezza per sistemi non lineari control-affine soggetti a vincoli di stato e di ingresso. Tuttavia, la costruzione sistematica di CBF valide per sistemi generali sotto vincoli arbitrari rimane un problema aperto. Mentre i professionisti spesso si affidano a CBF candidate regolate con variabili di slack, queste mancano di garanzie di sicurezza rigorose. Gli approcci sistematici esistenti includono l'apprendimento automatico, l'ottimizzazione sum-of-squares e le CBF di backup che sfruttano politiche pre-specificate. Esiste una lacuna specifica nella progettazione di CBF che gestiscano rigorosamente vincoli arbitrari offrendo al contempo una strategia di backup dinamica e parametrizzata, che eviti il conservatorismo dei metodi basati su Lyapunov o la lentezza dei tradizionali approcci di Reference Governor (RG).

Metodologia
Il metodo proposto costruisce CBF all'interno di uno spazio aumentato di stato e riferimento ($\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^l$), ispirandosi alla letteratura sui Reference Governor e ai Dynamic Safety Margins (DSM). La metodologia principale prevede i seguenti passaggi:

1. Configurazione del Sistema e Assunzioni: L'approccio considera sistemi control-affine $\dot{x} = f(x) + g(x)u$ soggetti a vincoli. Assume l'esistenza di un manifold di equilibrio parametrizzato da un riferimento virtuale $v$, insieme a una politica di controllo localmente stabilizzante e continuamente differenziabile $\pi(x, v)$ che rende l'equilibrio $\bar{x}(v)$ asintoticamente stabile.
2. Definizione di DSM basata su Traiettoria: Invece di utilizzare funzioni di Lyapunov, gli autori definiscono un Margine di Sicurezza Dinamico (DSM) $\Delta(x, v)$ basato sulla traiettoria del sistema "pre-stabilizzato" (dove l'ingresso di controllo è fissato a $\pi(x, v)$). Il DSM quantifica la distanza minima dalla violazione dei vincoli su un orizzonte temporale futuro, assumendo che il riferimento $v$ rimanga costante:
   $$\Delta(x, v) = \inf_{\tau \in [0, \infty)} c(\Phi(\tau, x, v), v)$$
   dove $\Phi$ è il flusso della dinamica pre-stabilizzata e $c$ descrive i vincoli.
3. Analisi di Sensibilità: Per calcolare le derivate di Lie richieste per la condizione CBF, il documento deriva i Jacobiani di sensibilità del flusso $\Phi$ rispetto allo stato iniziale $x$ ($S_x$) e al riferimento $v$ ($S_v$). Dimostra che, sotto deboli assunzioni (linearizzazione di Hurwitz all'equilibrio), queste matrici di sensibilità convergono a valori noti per $\tau \to \infty$.
4. Formulazione Trattabile: Per affrontare l'intrattabilità computazionale degli orizzonti infiniti e la potenziale non-smoothness della funzione infimo, il metodo impiega:
   • Orizzonte Finito con Vincoli Terminali: L'orizzonte infinito è troncato a $[0, T]$, con un DSM terminale $\Delta_F$ (ad esempio, basato su Lyapunov) che garantisce l'invarianza per $\tau > T$.
   • Giacobiani Generalizzati di Clarke: Per gestire i casi in cui l'infimo non è unico (non-smoothness), i vincoli del filtro di sicurezza sono imposti utilizzando i Giacobiani generalizzati di Clarke, garantendo che la condizione CBF sia soddisfatta per tutti i subgradienti.
5. Implementazione del Filtro di Sicurezza: La CBF risultante viene utilizzata in un filtro di sicurezza tramite Programma Quadratico (QP). Questo filtro minimizza la deviazione da un controllore nominale $\kappa(x)$ e un campo di navigazione del riferimento $\rho(v)$, soggetto al vincolo che la derivata temporale del DSM (calcolata tramite i Jacobiani di sensibilità) soddisfi la condizione CBF.

Contributi Chiave
Il documento estende i lavori precedenti sui DSM e sulle CBF di backup con quattro contributi specifici:

• Politica di Backup Parametrizzata: La politica di backup non è una singola politica statica, ma è parametrizzata dal manifold di equilibrio del sistema. Ciò consente al filtro di sicurezza di utilizzare una famiglia di politiche di backup anziché una politica fissa.
• Parametrizzazione Dinamica: La politica di backup è dinamica perché la sua parametrizzazione (il riferimento $v$) è variabile nel tempo, permettendo un enforcement della sicurezza più flessibile.
• Stabilità delle Matrici di Sensibilità: Gli autori dimostrano rigorosamente che le matrici di sensibilità sottostanti ($S_x$ e $S_v$) sono asintoticamente stabili sotto deboli assunzioni, facilitando il calcolo delle derivate della CBF.
• Gestione della Non-Smoothness: La potenziale non-smoothness della CBF risultante è affrontata rigorosamente utilizzando i Giacobiani generalizzati di Clarke, garantendo che le garanzie di sicurezza siano valide anche quando il minimo basato sulla traiettoria non è unico.

Risultati
Il metodo è validato su un pendolo inverso su un carrello, un sistema caratterizzato da saturazione dell'ingresso, molteplici vincoli, forti non-linearità, alto relativo grado e dinamiche non-minimum phase. Il sistema ha il compito di spostarsi da una posizione iniziale verso un target rispettando i limiti di stato e di ingresso.

Simulazioni comparative rispetto ad altri quattro approcci (Controllo Nominale, DSM-CBF basata su Lyapunov, Reference Governor (ERG) e Backup CBF) dimostrano che:

• Il controllore Nominale fallisce nel soddisfare i vincoli.
• La DSM-CBF basata su Lyapunov è eccessivamente conservativa, risultando in prestazioni più lente.
• L'approccio Reference Governor (ERG) è sistematicamente più lento rispetto ai metodi basati su CBF.
• La Backup CBF (utilizzando una politica di backup fissa) funziona ma è più lenta del metodo proposto.
• La proposta DSM-CBF basata su traiettoria ottiene le migliori prestazioni garantendo al contempo la soddisfazione dei vincoli. Gli autori attribuiscono ciò al grado di libertà aggiuntivo fornito dalla parametrizzazione della politica di backup tramite il riferimento $v$, che permette al sistema di navigare i vincoli in modo più efficiente rispetto alle backup a politica fissa.

Significatività e Rivendicazioni
Il documento sostiene di fornire un approccio sistematico per la costruzione di CBF valide per sistemi non lineari con vincoli arbitrari, andando oltre la dipendenza da funzioni candidate euristiche. Sfruttando le predizioni di traiettoria di un sistema pre-stabilizzato, il metodo colma il divario tra la sicurezza rigorosa delle CBF e la flessibilità dei Reference Governor. Gli autori sottolineano che l'approccio è computazionalmente trattabile perché le predizioni della traiettoria dipendono solo dallo stato corrente e dal riferimento, non dalle variabili di ottimizzazione, mantenendo il costo trascurabile rispetto al Model Predictive Control (MPC). Il lavoro stabilisce che i margini di sicurezza dinamici derivati dall'analisi della traiettoria sono CBF valide, offrendo un'alternativa rigorosa alle costruzioni basate su Lyapunov che possono essere troppo conservative per sistemi instabili in loop aperto.