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Designing Control Barrier Functions Using a Dynamic Backup Policy

本文通过定义一组以平衡流形为参数的备份策略，并在增广状态与参考空间中评估到未来约束违背的距离，提出了一种为具有任意约束的非线性控制仿射系统构建控制障碍函数系统化方法。

原作者： Victor Freire, Marco M. Nicotra

发布于 2026-06-04

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原作者： Victor Freire, Marco M. Nicotra

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

想象一下，你正在驾驶一辆高性能赛车，这辆车有一个非常严格的规则：你绝不能撞到赛道的墙壁，也绝不能踩油门踩到引擎承受不了的程度。

现在，想象你想尽可能快地驾驶这辆车到达一个特定的目的地，但你又不想发生碰撞。这就是工程师在为机器人或自动驾驶汽车编程时面临的问题。他们需要一个“安全过滤器”（Safety Filter），它位于驾驶员的指令与汽车引擎之间。如果驾驶员尝试做一些危险的操作，过滤器就会介入，温柔地将车辆引导回安全状态，而不会破坏驾驶体验。

这篇论文介绍了一种构建该“安全过滤器”的更聪明的新方法。以下是利用简单类比对他们想法的拆解：

1. 问题所在：“水晶球”难以寻觅

通常，为了保持机器人的安全，工程师会尝试围绕它绘制一张完美的“安全区域”地图。但对于复杂的机器（如机械臂或平衡杆）来说，绘制这张地图极其困难。如果地图错了，机器人可能会撞毁；如果地图过于谨慎，机器人的动作就会像乌龟一样缓慢。

2. 解决方案：“备用计划”策略

作者提出了一种不同的方法，其灵感来自一种被称为“参考调节器”（Reference Governor）的概念。可以这样理解：

与其试图预测每一种可能的未来灾难，不如让系统问一个简单的问题：“如果我现在停止追求花哨的操作，转而切换到我的‘安全模式’（即备用计划），我还能保持安全吗？”

“安全模式”（备用策略）： 想象机器人有一个预设的“紧急按钮”。如果你按下它，机器人就会停止尝试快速移动，而是缓慢地稳定自身，回到一个安全的站立位置。
测试： 系统会观察机器人的当前位置并询问：“如果我现在按下紧急按钮，我会不会在停稳之前就撞毁？”
- 如果答案是 “不会”（我会保持安全），那么机器人就可以继续做它想做的任何事（比如开快车、移动机械臂）。
- 如果答案是 “会”（我在停稳之前就会撞毁），系统会立即强制机器人减速或改变方向，以避免这场碰撞。

3. 创新点：“一整族”备用计划

以往版本的这种想法有一个缺陷：它们只有一个备用计划。这就像一栋建筑里只有一个紧急出口。如果你身处角落，那个出口可能离你非常遥远。

这篇论文引入了 动态备用策略（Dynamic Backup Policy）。

类比： 想象机器人不仅仅有一个紧急出口，而是拥有一整片随位置变化的“安全出口社区”。
系统使用一个“虚拟参考”（目标点）来选择当前最合适的备用计划。这就像是一个 GPS，它能根据你当前的位置，瞬间计算出离你最近、最安全的停车位，而不是强迫你必须开到某一个固定的停车场。

4. 如何实现（数学魔力）

为了让这套理论在计算机上运行，作者必须解决两个棘手的难题：

“无限未来”问题： 检查是否能“永远”保持安全对计算机来说是不可能的。
- 他们的解决方法： 他们只检查一个短时间内可控的未来（比如 10 秒钟）。然后，他们利用一个数学保证（“李雅普诺夫/Lyapunov 函数”）来说明：“如果你在这 10 秒内是安全的，并且在结束时处于这个特定的‘安全区域’内，那么你就能保证在之后永远安全。”
“锯齿边缘”问题： 有时，计算“最近安全出口”的数学过程会变得像皱巴巴的纸一样，出现锯齿状且难以计算。
- 他们的解决方法： 他们使用了先进的数学工具（称为 Clarke 广义雅可比矩阵/Clarke generalized Jacobians）来平滑这些锯齿边缘，使计算机能够快速且可靠地求解。

5. 证明：平衡杆实验

为了证明其想法有效，他们在经典的机器人挑战项目——**倒立摆（在小车上的倒立摆）**上进行了测试。

设置： 想象一根扫帚杆平衡在一个移动的小车上。目标是在不让扫帚杆倒下或小车撞墙的前提下，将小车从 A 点移动到 B 点。
结果： 他们将这种新的 “Trajectory DSM-CBF” 方法与其他方法进行了对比。
- “常规方式”发生了碰撞。
- “旧的安全方式”动作过于迟缓和谨慎。
- “备用方式”虽然可行，但显得很笨拙。
- 他们的新方法： 机器人移动小车到达目标点的速度更快且更平滑，同时保证了绝不会撞墙或掉落扫帚杆。

总结

简而言之，这篇论文为工程师提供了一套系统性的配方，用于为复杂机器构建“安全过滤器”。系统不再靠猜测，而是不断询问自己：“如果我现在切换到我最好的‘安全模式’，我能生存下来吗？” 如果答案是肯定的，机器就可以自由地快速移动。如果答案是否定的，机器就会仅仅进行微调，以确保安全。这使得机器人能够同时兼顾快速与安全。

技术摘要：利用动态备份策略设计控制障碍函数

问题陈述
控制障碍函数（CBFs）是为受状态和输入约束的非线性控制仿射系统合成安全滤波器的成熟工具。然而，如何针对一般系统在任意约束下系统性地构建有效的 CBF 仍然是一个开放性问题。虽然从业者通常依赖于通过松弛变量调优的候选 CBF，但这些方法缺乏严格的安全保证。现有的系统化方法包括机器学习、求和平方优化（SOS）以及利用预设策略的备份 CBF（Backup CBFs）。目前存在一个特定的空白，即如何设计既能严格处理任意约束，又能提供动态参数化备份策略的 CBF，从而避免基于李雅普诺夫（Lyapunov）方法的保守性或传统参考调节器（Reference Governor, RG）方法的缓慢性。

方法论
所提方法受到参考调节器文献和动态安全裕度（DSMs）的启发，在增广状态与参考空间（ $\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^l$ ）内构建 CBF。核心方法论包含以下步骤：

系统设置与假设： 该方法考虑受约束的控制仿射系统 $\dot{x} = f(x) + g(x)u$ 。它假设存在一个由虚拟参考 $v$ 参数化的平衡流形，以及一个连续可微的局部稳定控制策略 $\pi(x, v)$ ，该策略使平衡点 $\bar{x}(v)$ 渐近稳定。
基于轨迹的 DSM 定义： 作者并非使用李雅普诺夫函数，而是基于“预稳定化”系统（其中控制输入固定为 $\pi(x, v)$ ）的轨迹来定义动态安全裕度（DSM） $\Delta(x, v)$ 。DSM 量化了在假设参考 $v$ 保持不变的情况下，未来时间跨度内距离违反约束的最小距离：
$\Delta(x, v) = \inf_{\tau \in [0, \infty)} c(\Phi(\tau, x, v), v)$
其中 $\Phi$ 是预稳定化动力学的流，而 $c$ 描述了约束。
灵敏度分析： 为了计算计算 CBF 条件所需的李导数（Lie derivatives），本文推导了流 $\Phi$ 对初始状态 $x$ （ $S_x$ ）和参考 $v$ （ $S_v$ ）的灵敏度雅可比矩阵。作者证明了在满足温和假设（平衡点处为 Hurwitz 线型化）的情况下，这些灵敏度矩阵在 $\tau \to \infty$ 时会收敛到已知值。
可处理的公式化： 为了解决无限时界的可计算性难题以及可能存在的下确界非光滑问题，该方法采用了以下手段：
- 有限时界与终端约束： 将无限时界截断为 $[0, T]$ ，并使用终端 DSM $\Delta_F$ （例如基于李雅普诺夫的 DSM）以确保对于 $\tau > T$ 的不变性。
- Clarke 广义雅可比矩阵： 为了处理下确界不唯一（非光滑）的情况，安全滤波器约束使用 Clarke 广义雅可比矩阵进行强制执行，确保 CBF 条件对所有次梯度均成立。
安全滤波器实现： 生成的 CBF 被用于二次规划（QP）安全滤波器。该滤波器在满足 CBF 条件（即通过灵敏度雅可比矩阵计算出的 DSM 时间导数满足该条件）的前提下，最小化与标称控制器 $\kappa(x)$ 及参考导航场 $\rho(v)$ 的偏差。

主要贡献
本文通过四个具体的贡献扩展了以往关于 DSM 和备份 CBF 的工作：

参数化备份策略： 备份策略并非单一的静态策略，而是由系统的平衡流形参数化的。这使得安全滤波器能够利用一组备份策略，而非仅仅是一个固定的策略。
动态参数化： 备份策略是动态的，因为其参数化变量（参考 $v$ ）是随时间变化的，这允许更灵活的安全执行。
灵敏度矩阵的稳定性： 作者严谨地证明了在温和假设下，底层的灵敏度矩阵（ $S_x$ 和 $S_v$ ）是渐近稳定的，这为计算 CBF 导数提供了便利。
处理非光滑性： 利用 Clarke 广义雅可比矩阵严谨地解决了由此产生的潜在非光滑问题，确保即使在基于轨迹的最小值不唯一时，安全保证依然成立。

实验结果
该方法在倒立摆（小车驱动）系统上进行了验证，该系统具有输入饱和、多重约束、强非线性、高相对阶以及非最小相位动力学等特征。系统任务是在遵守状态和输入限制的同时，从初始位置移动到目标位置。

与四种其他方法的对比仿真（标称控制、基于李雅普诺夫的 DSM-CBF、参考调节器 (ERG) 以及备份 CBF）表明：

标称控制器无法满足约束。
基于李雅普诺夫的 DSM-CBF 过于保守，导致性能下降。
参考调节器 (ERG) 方法在系统性上比基于 CBF 的方法更慢。
备份 CBF（使用固定备份策略）虽然有效，但比本文提出的方法慢。
本文提出的基于轨迹的 DSM-CBF 在保证约束满足的同时，实现了最佳性能。作者将其归功于通过参考 $v$ 参数化备份策略所带来的自由度，这使得系统能够比固定策略备份更高效地绕过约束。

意义与主张
本文声称为构建具有任意约束的非线性系统的有效 CBF 提供了一种系统性的方法，超越了对启发式候选函数的依赖。通过利用预稳定化系统的轨迹预测，该方法弥合了 CBF 的严谨安全性与参考调节器灵活性之间的鸿沟。作者强调，由于轨迹预测仅取决于当前状态和参考，而不取决于优化变量，因此该方法在计算上是可行的，其计算开销相对于模型预测控制（MPC）而言可以忽略不计。这项工作确立了基于轨迹分析的动态安全裕度是有效的 CBF，为那些对于开环不稳定系统可能过于保守的李雅普诺夫构造方法提供了一个严谨的替代方案。