Designing Control Barrier Functions Using a Dynamic Backup Policy

기술 요약: 동적 백업 정책을 이용한 제어 장벽 함수(Control Barrier Functions) 설계

문제 정의
제어 장벽 함수(Control Barrier Functions, CBFs)는 상태 및 입력 제약이 있는 비선형 제어-아핀 시스템(control-affine systems)에 대해 안전 필터를 합성하기 위해 확립된 도구이다. 그러나 임의의 제약 조건 하에 일반적인 시스템에 대해 유효한 CBF를 체계적으로 구축하는 것은 여전히 미해결 과제로 남아 있다. 실무자들은 종종 슬랙 변수(slack variables)로 튜닝된 후보 CBF에 의존하곤 하지만, 이는 엄격한 안전 보장을 결여하고 있다. 기존의 체계적인 접근 방식으로는 머신 러닝, SOS(sum-of-squares) 최적화, 그리고 사전 지정된 정책을 활용하는 백업 CBF 등이 있다. 구체적인 공백은, 리아푸노프(Lyapunov) 기반 방식의 보수성을 피하거나 전통적인 레퍼런스 거버너(Reference Governor, RG) 방식의 느린 속도를 피하면서도, 임의의 제약을 엄격하게 처리할 수 있는 동적이고 매개변수화된 백업 전략을 제공하는 CBF를 설계하는 데 존재한다.

방법론
제안된 방법은 레퍼런스 거버너 문헌과 동적 안전 마진(Dynamic Safety Margins, DSMs)에서 영감을 얻어, 확장된 상태 및 레퍼런스 공간($\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^l$) 내에서 CBF를 구축한다. 핵심 방법론은 다음 단계들을 포함한다:

1. 시스템 설정 및 가정: 이 접근 방식은 제약 조건이 있는 제어-아핀 시스템 $\dot{x} = f(x) + g(x)u$를 고려한다. 또한 가상 레퍼런스 $v$에 의해 매개변수화된 평형 다양체(equilibrium manifold)와, 평형점 $\bar{x}(v)$를 점근적으로 안정하게 만드는 연속 미분 가능한 국소 안정화 제어 정책 $\pi(x, v)$가 존재한다고 가정한다.
2. 궤적 기반 DSM 정의: 저자들은 리아푸노프 함수를 사용하는 대신, "사전 안정화된(prestabilized)" 시스템(제어 입력이 $\pi(x, v)$로 고정된 경우)의 궤적에 기반하여 동적 안전 마진(DSM) $\Delta(x, v)$를 정의한다. DSM은 레퍼런스 $v$가 일정하게 유지된다고 가정할 때, 미래 시간 지평 동안 제약 위반까지의 최소 거리를 정량화한다:
   $$\Delta(x, v) = \inf_{\tau \in [0, \infty)} c(\Phi(\tau, x, v), v)$$
   여기서 $\Phi$는 사전 안정화된 역학의 흐름(flow)이며, $c$는 제약을 기술한다.
3. 민감도 분석(Sensitivity Analysis): CBF 조건을 위해 필요한 리 미분(Lie derivatives)을 계산하기 위해, 본 논문은 초기 상태 $x$($S_x$)와 레퍼런스 $v$($S_v$)에 대한 흐름 $\Phi$의 민감도 자코비안(sensitivity Jacobians)을 유도한다. 저자들은 완만한 가정(평형에서의 Hurwitz 선형화) 하에서, 이러한 민감도 행렬이 $\tau \to \infty$일 때 알려진 값으로 수렴함을 증명한다.
4. 다루기 쉬운 정식화: 무한 지평의 계산 불가능성과 infimum 함수의 잠재적 비매끄러움(non-smoothness) 문제를 해결하기 위해, 본 방법은 다음을 채택한다:
   • 종단 제약이 있는 유한 지평: 무한 지평을 $[0, T]$로 제한하며, $\tau > T$인 경우에 대해 불변성(invariance)을 보장하는 종단 DSM $\Delta_F$(예: 리아푸노프 기반)를 사용한다.
   • 클라크 일반화 자코비안(Clarke Generalized Jacobians): infimum가 유일하지 않은 경우(비매끄러움)를 처리하기 위해, 클라크의 일반화된 자코비안을 사용하여 안전 필터 제약이 모든 서그래디언트(subgradient)에 대해 성립하도록 강제한다.
5. 안전 필터 구현: 결과적으로 도출된 CBF는 이차 계획법(Quadratic Program, QP) 안전 필터에 사용된다. 이 필터는 명목 제어기(nominal controller) $\kappa(x)$ 및 레퍼런스 항법장(reference navigation field) $\rho(v)$로부터의 편차를 최소화하는 동시에, DSM의 시간 미분이 (민감도 자코비안을 통해 계산된) CBF 조건을 만족하도록 한다.

주요 기여
본 논문은 DSM 및 백업 CBF에 관한 이전 연구를 네 가지 구체적인 기여를 통해 확장한다:

• 매개변수화된 백업 정책: 백업 정책은 단일 정적 정책이 아니라 시스템의 평형 다양체에 의해 매개변수화된다. 이를 통해 안전 필터는 고정된 하나의 백업 정책이 아닌, 일련의 백업 정책들을 활용할 수 있다.
• 동적 매개변수화: 백업 정책는 그 매개변수(레퍼스 $v$)가 시간에 따라 변하기 때문에 동적이다. 이는 더 유연한 안전 강제를 가능하게 한다.
• 민감도 행렬의 안정성: 저자들은 기초가 되는 민감도 행렬($S_x$ 및 $S_v$)이 완만한 가정 하에서 점근적으로 안정적임을 엄격하게 입증하여, CBF 미분 계산을 용이하게 한다.
• 비매끄러움 처리: 결과적인 CBF의 잠재적 비매끄러움을 클라크 일반화 자코비안을 사용하여 엄격하게 다룸으로써, 궤적 기반 최소값이 유일하지 않을 때도 안전 보장이 유지되도록 한다.

결과
본 방법은 입력 포화, 다중 제약, 강한 비선형성, 높은 상대 차수(relative degree), 비최소 위상(non-minimum phase) 역학을 특징으로 하는 카트 위의 역진자(inverted pendulum on a cart) 시스템을 통해 검증되었다. 이 시스템은 초기 위치에서 목표 지점으로 이동하면서 상태 및 입력 제한을 준수해야 하는 과제를 수행한다.

네 가지 다른 접근 방식(Nominal control, Lyapunov-based DSM-CBF, Reference Governor (ERG), Backup CBF)과의 비교 시뮬레이션 결과는 다음과 같다:

• Nominal controller는 제약을 만족하는 데 실패한다.
• Lyapunov-based DSM-CBF는 지나치게 보수적이어서 성능이 느려진다.
• Reference Governor (ERG) 방식은 체계적으로 CBF 기반 방식보다 느리다.
• Backup CBF(고정된 백업 정책 사용)는 작동하지만, 제안된 방법보다 느리다.
• 제안된 Trajectory-based DSM-CBF는 제약 만족을 보장하면서도 최고의 성능을 달舞한다. 저자들은 이를 백업 정책을 레퍼스 $v$를 통해 매개변수화함으로써 얻은 자유도 덕분이라고 설명하는데, 이는 시스템이 고정된 정책의 백업보다 제약을 더 효율적으로 탐색할 수 있게 해준다.

의의 및 주장
본 논문은 휴리스틱 후보 함수에 대한 의존을 넘어, 비선형 시스템에 대해 유효한 CBF를 구축하는 체계적인 접근 방식을 제공한다고 주장한다. 궤적 예측을 활용함으로써, 이 방법은 CBF의 엄격한 안전성과 레퍼런스 거버너의 유연성 사이의 간극을 메운다. 저자들은 궤적 예측이 최적화 변수가 아닌 현재 상태와 레퍼스에만 의존하기 때문에 계산이 용이하며, MPC(Model Predictive Control)에 비해 비용이 매우 낮다는 점을 강조한다. 본 연구는 궤적 분석에서 유도된 동적 안전 마진이 유효한 CBF임을 입증하며, 개루프 불안정(open-loop unstable) 시스템에 대해 지나치게 보수적일 수 있는 리아푸노프 기반 구축의 엄격한 대안을 제시한다.