$L$-functions of elliptic curves in ring class extensions of real quadratic fields via regularized theta liftings

Sintesi Tecnica: L-funzioni di Curve Ellittiche in Estensioni di Classe di Campi Quadratici Reali tramite Sollevamenti Theta Regolarizzati

Enunciato del Problema
Il saggio affronta il comportamento analitico della $L$-funzione di Hasse-Weil $L(E/K, \chi, s)$ associata a una curva ellittica $E/\mathbb{Q}$ di condotto $N$, base-cambiata a un campo quadratico reale $K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})$ e ruotata (twisted) da un carattere di classe di anello $\chi$ di condotto $c$. Nello specifico, il lavoro si concentra sul valore della derivata centrale $\Lambda'(E/K, \chi, 1)$ (equivalentemente $\Lambda'(1/2, \Pi \otimes \chi)$) nel contesto di "vanishing forzato" (vanishing forzato). Questo scenario si verifica quando il numero di segno (root number) dell'equazione funzionale è $-1$, il che impone l'annullamento del valore centrale $\Lambda(1/2, \Pi \otimes \chi)$.

Sebbene la formula di Gross-Zagier e le sue generalizzazioni (ad esempio, da parte di Waldspurger, Popa e Bruinier-Yang) abbiano collegato con successo le derivate centrali alle altezse di punti di Heegner (cicli CM) nel contesto dei campi quadratici immaginari, il caso quadratico reale presenta un'ostruzione significativa: non esistono punti CM nell'ambito quadratico reale. Di conseguenza, gli oggetti geometrici necessari per interpretare la derivata tramite la teoria dell'intersezione aritmetica sono assenti. Il saggio mira a derivare una presentazione integrale per queste derivate centrali nel caso quadratico reale, sostituendo i cicli CM con cicli geodesici reali sulla superficie di prodotti di curve modulari.

Metodologia
L'autore utilizza la teoria dei sollevamenti theta regolarizzati e delle funzioni Green automorfe, adattando il quadro di Bruinier e Yang (che hanno trattato il caso quadratico immaginario) alle configurazioni di firma $(2,2)$ e $(1,1)$ rilevanti per i campi quadratici reali.

1. Setup Geometrico: Il lavoro utilizza l'isomorfismo eccezionale tra il gruppo spin $GSpin(V_A)$ di uno spazio quadratico razionale $V_A$ di firma $(2,2)$ e $GL_2 \times_{G_m} GL_2$. Ciò identifica la varietà di Shimura spin associata $X_A$ con il prodotto di curve modulari $Y_0(N) \times Y_0(N)$.
2. Sottospazi Anisotropi: L'autore introduce sottospazi anisotropi $(V_{A,1}, Q_{A,1})$ e $(V_{A,2}, Q_{A,2})$ di firma $(1,1)$, definiti tramite rappresentanti di ideali del gruppo di classe di anello, che danno origine a cicli geodesici reali $G_A$ su $Y_0(N) \times Y_0(N)$, i quali fungono da analoghi quadratici reali dei cicli CM.
3. Sollevamenti Theta Regolarizzati: Il calcolo centrale consiste nel valutare i sollevamenti theta regolarizzati $\Phi(f_0, z, h)$ lungo questi cicli geodesici. Qui, $f_0$ è una forma Maass debole armonica di peso 0. Questi sollevamenti sono identificati come funzioni Green automorfe per i divisori di Hirzebruch-Zagier su $X_A$.
4. Siegel-Weil e Operatori Maass: La derivazione si basa sulla formula di Siegel-Weil per relazionare gli integrali theta alle serie di Eisenstein. Fondamentalmente, l'autore utilizza gli operatori di Maass di raising e lowering del peso ($R_l$ e $L_l$) per relazionare la derivata di una serie di Eisenstein incoerente (associata al sottospazio di firma $(1,1)$) alla parte olofoma della derivata della serie di Eisenstein. Ciò consente di decomporre l'integrale del sollevamento theta in tre termini distinti:
   • Un accoppiamento del termine costante che coinvolge la parte olofoma della forma Maass e la parte olofoma della derivata della serie di Eisenstein.
   • Un integrale di Rankin-Selberg regolarizzato coinvolgente l'"ombra" (shadow) della forma Maass.
   • L'integrale della funzione Green lungo il ciclo geodesico reale.

Contributi Chiave e Risultati

• Teorema Principale (Teorema 4.18 / Corollario 4.19): Il saggio stabilisce una nuova presentazione integrale per il valore della derivata centrale $\Lambda'(1/2, \Pi \otimes \chi)$. La formula esprime questo valore come una somma ruotata (twisted sum) rispetto al gruppo di classe $\text{Pic}(\mathcal{O}_c)$ di:

  1. Un accoppiamento del termine costante: $\text{CT}\langle\langle f^+_{0,A}, 1_{L_{A,1}\oplus 0} \otimes E_{L_{A,2}} \rangle\rangle$.
  2. Un integrale di Rankin-Selberg regolarizzato: $I'(0, f_{0,A} \times \xi_0(\theta_{L_{A,1}}))$.
  3. Una somma di funzioni Green automorfe valutate lungo cicli geodesici reali: $\frac{\text{vol}(U_{A,2})}{2} \Phi(f_{0,A}, G_A)$.

  La formula è data da:
  $$\Lambda'(1/2, \Pi \otimes \chi) = -2h_K \log \varepsilon_K \sum_{A \in \text{Pic}(\mathcal{O}_c)} \chi(A) \left( \text{CT}\langle\langle \dots \rangle\rangle + I'(\dots) + \frac{\text{vol}(U_{A,2})}{2} \Phi(f_{0,A}, G_A) \right)$$
  dove $h_K$ è il numero di classe e $\varepsilon_K$ è l'unità fondamentale di $K$.

• Interpretazione Geometrica: Il lavoro fornisce un'interpretazione geometrica dei cicli geodesici reali $G_A$ come componenti del bordo della compattificazione di Borel-Serre di una varietà di Siegel tridimensionale ruotata (una varietà di Shimura spin di firma $(3,2)$). Ciò suggerisce un'interpretazione per il bordo dei punti "Stark-Heegner" in $E(K[c])$.

• Applicazione a Birch-Swinnerton-Dyer (BSD): Il saggio relaziona queste formule analitiche alla congettura raffinata di BSD.

  • Risultati Condizionali: Assumendo la congettura BSD, le formule derivate forniscono espressioni esplicite per il regolatore $R_E(K[c])$ e l'ordine del gruppo di Tate-Shafarevich $\#\text{X}_E(K[c])$ in termini degli integrali automorfi derivati.
  • Identità Incondizionata (Teorema 5.1): Sotto specifiche ipotesi (riduzione semistabile, irriducibilità delle rappresentazioni di Galois residua e una condizione di rango in cui esattamente uno tra $L(E,1)$ o $L(E(d_K),1)$ si annulla), l'autore deriva un'identità incondizionata. Questa identità equipara un prodotto di invarianti aritmetici (regolatori, numeri di Tamagawa, periodi e ordini di gruppi di Tate-Shafarevich per $E$ e la sua torsione quadratica) alla somma degli integrali automorfi descritti nel teorema principale.

Significatività e Rivendicazioni
Il saggio rivendica di fornire la prima formula nota che relaziona i valori delle derivate centrali delle $L$-funzioni nel contesto quadratico reale con invarianti geometrici associati a cicli geodesici reali su prodotti di curve modulari.

• Analogo di Gross-Zagier: Il risultato è presentato come un analogo quadratico reale della formula di Gross-Zagier. A differenza del caso quadratico immaginario, dove la derivata è legata all'altezza di un punto CM, la derivata quadratica reale è legata alla valutazione di funzioni Green lungo cicli geodesici non compatti.
• Novità del Metodo: L'autore osserva che l'argomento non segue il quadro di intersezione aritmetica del programma di Kudla (che si basa su cicli CM, né i calcoli di Bruinier-Yang per cicli CM su varietà di Shimura spin). Invece, la derivazione scaturisce dalla valutazione di funzioni Green lungo cicli geodesici parametrizzati da spazi quadratici lorentziani, utilizzando identità di Siegel-Weil interpretate tramite operatori Maass.
• Periodi: Il saggio suggerisce che i valori $\Lambda'(E/K, \chi, 1)$ siano periodi, deducendolo in casi speciali tramite argomenti di Kontsevich-Zagier, in linea con l'aspettativa che i valori speciali delle $L$-funzioni siano periodi.

Il lavoro non pretende di provare l'esistenza di punti razionali (punti Stark-Heegner), ma piuttosto fornisce una formula che, se tali punti esistessero e soddiscessero la congettura BSD, relazionerebbe le loro altezse a questi specifici integrali automorfi. Offre una nuova prospettiva sulla provenienza di tali punti tramite i bordi di varietà di Shimura di dimensione superiore.