$L$-functions of elliptic curves in ring class extensions of real quadratic fields via regularized theta liftings

Resumen Técnico: L-funciones de curvas elípticas en extensiones de clase de anillos de campos cuadráticos reales mediante levantamientos de theta regularizados

Planteamiento del problema
El artículo aborda el comportamiento analítico de la función $L$ de Hasse-Weil $L(E/K, \chi, s)$ asociada a una curva elíptica $E/\mathbb{Q}$ de conductor $N$, base-cambiada a un campo cuadrático real $K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})$ y torcida por un carácter de clase de anillo $\chi$ de conductor $c$. Específicamente, el trabajo se centra en el valor de la derivada central $\Lambda'(E/K, \chi, 1)$ (equivalentemente $\Lambda'(1/2, \Pi \otimes \chi)$) en el escenario de "anulación forzada". Este escenario ocurre cuando el número de raíz de la ecuación funcional es $-1$, lo que fuerza la anulación del valor central $\Lambda(1/2, \Pi \otimes \chi)$.

Si bien la fórmula de Gross-Zagier y sus generalizaciones (por ejemplo, las de Waldspurger, Popa y Bruinier-Yang) relacionan con éxito las derivadas centrales con las alturas de puntos de Heegner (ciclos CM) en el contexto de campos cuadráticos imaginarios, el caso cuadrático real presenta una obstrucción significativa: no existen puntos CM en el entorno cuadrático real. En consecuencia, los objetos geométricos requeridos para interpretar la derivada mediante la teoría de intersección aritmética están ausentes. El presente trabajo busca derivar una presentación integral para estas derivadas centrales en el caso cuadrático real, reemplazando los ciclos CM por ciclos geodésicos reales en el producto de curvas modulares.

Metodología
El autor emplea la teoría de levantamientos de theta regularizados y funciones de Green autómorficas, adaptando el marco de Bruinier y Yang (quienes trataron el caso cuadrático imaginario) a los entornos de firma $(2,2)$ y $(1,1)$ relevantes para los campos cuadráticos reales.

1. Configuración geométrica: El trabajo utiliza el isomorfismo excepcional entre el grupo spin $GSpin(V_A)$ de un espacio cuadrático racional $V_A$ de firma $(2,2)$ y $GL_2 \times_{G_m} GL_2$. Esto identifica la variedad de Shimura spin asociada $X_A$ con el producto de curvas modulares $Y_0(N) \times Y_0(N)$.
2. Subespacios anisotrópicos: El autor introduce subespacios anisotrópicos $(V_{A,1}, Q_{A,1})$ y $(V_{A,2}, Q_{A,2})$ de firma $(1,1)$, definidos mediante representantes de ideales del grupo de clase de anillo, los cuales dan lugar a ciclos geodésicos reales $G_A$ en $Y_0(N) \times Y_0(N)$, que sirven como análogos cuadráticos reales a los ciclos CM.
3. Levantamientos de theta regularizados: El cálculo central consiste en evaluar levantamientos de theta regularizados $\Phi(f_0, z, h)$ a lo largo de estos ciclos geodésicos. Aquí, $f_0$ es una forma de Maass débil armónica de peso 0. Estos levantamientos se identifican como funciones de Green autómórficas para divisores de Hirzebruch-Zagier en $X_A$.
4. Siegel-Weil y operadores de Maass: La derivación se apoya en la fórmula de Siegel-Weil para relacionar integrales de theta con series de Eisenstein. Crucialmente, el autor utiliza los operadores de Maass de elevación y descenso de peso ($R_l$ y $L_l$) para relacionar la derivada de una serie de Eisenstein incoherente (asociada al subespacio de firma $(1,1)$) con la parte holomorfa de la serie de Eisenstein derivada. Esto permite la descomposición de la integral del levantamiento de theta en tres términos distintos:
   • Un término constante de emparejamiento que involucra la parte holomorfa de la forma de Maass y la parte holomorfa de la serie de Eisenstein derivada.
   • Una integral de Rankin-Selberg regularizada que involucra la "sombra" de la forma de Maass.
   • La integral de la función de Green a lo largo del ciclo geodésico real.

Contribuciones principales y resultados

• Teorema principal (Teorema 4.18 / Corolario 4.19): El artículo establece una novedosa presentación integral para el valor de la derivada central $\Lambda'(1/2, \Pi \otimes \chi)$. La fórmula expresa este valor como una suma torcida por $\chi$ sobre el grupo de clase $\text{Pic}(\mathcal{O}_c)$ de:

  1. Un emparejamiento de término constante: $\text{CT}\langle\langle f^+_{0,A}, 1_{L_{A,1}\oplus 0} \otimes E_{L_{A,2}} \rangle\rangle$.
  2. Una integral de Rankin-Selberg regularizada: $I'(0, f_{0,A} \times \xi_0(\theta_{L_{A,1}}))$.
  3. Una suma de funciones de Green autómórficas evaluadas a lo largo de ciclos geodésicos reales: $\frac{\text{vol}(U_{A,2})}{2} \Phi(f_{0,A}, G_A)$.

  La fórmula está dada por:
  $$\Lambda'(1/2, \Pi \otimes \chi) = -2h_K \log \varepsilon_K \sum_{A \in \text{Pic}(\mathcal{O}_c)} \chi(A) \left( \text{CT}\langle\langle \dots \rangle\rangle + I'(\dots) + \frac{\text{vol}(U_{A,2})}{2} \Phi(f_{0,A}, G_A) \right)$$
  donde $h_K$ es el número de clase y $\varepsilon_K$ es la unidad fundamental de $K$.

• Interpretación geométrica: El trabajo proporciona una interpretación geométrica de los ciclos geodésicos reales $G_A$ como componentes del límite de la compactificación de Borel-Serre de un tres veces de Siegel torcido (una variedad de Shimura spin de firma $(3,2)$). Esto sugiere una interpretación de frontera para los puntos "Stark-Heegner" en $E(K[c])$.

• Aplicación a Birch-Swinnerton-Dyer (BSD): El artículo relaciona estas fórmulas analíticas con la conjetura refinada de BSD.

  • Resultados condicionales: Asumiendo la conjetura de BSD, las fórmulas derivadas proporcionan expresiones explícitas para el regulador $R_E(K[c])$ y el orden del grupo de Tate-Shafarevich $\#\text{X}_E(K[c])$ en términos de las integrales autómórficas derivadas.
  • Identidad incondicional (Teorema 5.1): Bajo hipótesis específicas (reducción semiestable, irreducibilidad de las representaciones de Galois residuales y una condición de rango donde exactamente uno de $L(E,1)$ o $L(E(d_K),1)$ se anula), el autor deriva una identidad incondicional. Esta identidad iguala un producto de invariantes aritméticos (reguladores, números de Tamagawa, periodos y órdenes de grupos de Tate-Shafarevich para $E$ y su torsión cuadrática) a la suma de las integrales autómórficas descritas en el teorema principal.

Significado y afirmaciones
El artículo afirma proporcionar la primera fórmula conocida que relaciona los valores de la derivada central de funciones $L$ en el entorno cuadrático real con invariantes geométricos asociados a ciclos geodésicos reales en el producto de curvas modulares.

• Análogo de Gross-Zagier: El resultado se presenta como un análogo cuadrático real de la fórmula de Gross-Zagier. A diferencia del caso cuadrático imaginario, donde la derivada está relacionada con la altura de un punto CM, la derivada cuadrática real está relacionada con la evaluación de funciones de Green a lo largo de ciclos geodésicos no compactos.
• Novedad del método: El autor señala que el argumento no sigue el marco de intersección aritmética del programa de Kudla (que depende de ciclos CM) ni los cálculos de Bruinier-Yang para ciclos CM en variedades de Shimura spin. En su lugar, la derivación surge de la evaluación de funciones de Green a lo largo de ciclos geodésicos parametrizados por espacios cuadráticos lorentzianos, utilizando identidades de Siegel-Weil interpretadas vía operadores de Maass.
• Periodos: El artículo sugiere que los valores $\Lambda'(E/K, \chi, 1)$ son periodos, deduciéndolo en casos especiales mediante argumentos de Kontsevich-Zagier, de acuerdo con la expectativa de que los valores especiales de $L$ son periodos.

El trabajo no pretende probar la existencia de puntos racionales (puntos Stark-Heegner), sino que proporciona una fórmula que, si tales puntos existen y satisfacen la conjetura de BSD, relacionaría sus alturas con estas integrales autómórficas específicas. Ofrece una nueva perspectiva sobre la procedencia de tales puntos a través de los límites de variedades de Shimura de mayor dimensión.