$L$-functions of elliptic curves in ring class extensions of real quadratic fields via regularized theta liftings

Résumé technique : Fonctions L de courbes elliptiques dans les extensions de classes de corps quadratiques réels via des relèvements de Theta régularisés

Énoncé du problème
L'article traite du comportement analytique de la fonction L de Hasse-Weil $L(E/K, \chi, s)$ associée à une courbe elliptique $E/\mathbb{Q}$ de conducteur $N$, transférée par changement de base à un corps quadratique réel $K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})$ et tordue par un caractère de classe de cycle $\chi$ de conducteur $c$. Plus précisément, le travail se concentre sur la valeur de la dérivée centrale $\Lambda'(E/K, \chi, 1)$ (équivalemment $\Lambda'(1/2, \Pi \otimes \chi)$) dans le cadre de l'« annulation forcée ». Ce cadre survient lorsque le signe de l'équation fonctionnelle est $-1$, forçant l'annulation de la valeur centrale $\Lambda(1/2, \Pi \otimes \chi)$.

Bien que la formule de Gross-Zagier et ses généralisations (par exemple, celles de Waldspurger, Popa et Bruinier-Yang) relient avec succès les dérivées centrales aux hauteurs de points de Heegner (cycles CM) dans le contexte des corps quadratiques imaginaires, le cas quadratique réel présente une obstruction significative : il n'existe pas de points CM dans le cadre quadratique réel. Par conséquent, les objets géométriques requis pour interpréter la dérivée via la théorie de l'intersection arithmétique sont absents. L'article cherche à dériver une présentation intégrale pour ces dérivées centrales dans le cas quadratique réel, en remplaçant les cycles CM par des cycles géodésiques réels sur le produit de courbes modulaires.

Méthodologie
L'auteur emploie la théorie des relèvements de Theta régularisés et des fonctions de Green automorphes, en adaptant le cadre de Bruinier et Yang (qui ont traité le cas quadratique imaginaire) aux signatures $(2,2)$ et $(1,1)$ pertinentes pour les corps quadratiques réels.

1. Configuration géométrique : Le travail utilise l'isomorphisme exceptionnel entre le groupe spin $GSpin(V_A)$ d'un espace quadratique rationnel $V_A$ de signature $(2,2)$ et $GL_2 \times_{G_m} GL_2$. Ceci identifie la variété de Shimura spin associée $X_A$ avec le produit des courbes modulaires $Y_0(N) \times Y_0(N)$.
2. Sous-espaces anisotropes : L'auteur introduit des sous-espaces anisotropes $(V_{A,1}, Q_{A,1})$ et $(V_{A,2}, Q_{A,2})$ de signature $(1,1)$, définis via des représentants d'idéaux du groupe de classes de cycles. Ces sous-espaces donnent naissance à des cycles géodésiques réels $G_A$ sur $Y_0(N) \times Y_0(N)$, qui servent d'analogues quadratiques réels aux cycles CM.
3. Relèvements de Theta régularisés : Le calcul central consiste à évaluer les relèvements de Theta régularisés $\Phi(f_0, z, h)$ le long de ces cycles géodésiques. Ici, $f_0$ est une forme de Maass faible harmonique de poids 0. Ces relèvements sont identifiés comme des fonctions de Green automorphes pour les diviseurs de Hirzebruch-Zagier sur $X_A$.
4. Siegel-Weil et opérateurs de Maass : La dérivation repose sur la formule de Siegel-Weil reliant les intégrales de Theta aux séries d'Eisenstein. Crucialement, l'auteur utilise les opérateurs de Maass d'élévation et d'abaissement de poids ($R_l$ et $L_l$) pour relier la dérivée d'une série d'Eisenstein incohérente (associée au sous-espace de signature $(1,1)$) à la partie holomorphe de la série d'Eisenstein dérivée. Cela permet de décomposer l'intégrale du relèvement de Theta en trois termes distincts :
   • Un appariement de terme constant impliquant la partie holomorphe de la forme de Maass et la partie holomorphe de la série d'Eisenstein dérivée.
   • Une intégrale de Rankin-Selberg régularisée impliquant l'« ombre » de la forme de Maass.
   • L'intégrale de la fonction de Green le long du cycle géodésique réel.

Contributions clés et résultats

• Théorème principal (Théorème 4.18 / Corollaire 4.19) : L'article établit une nouvelle présentation intégrale de la valeur de la dérivée centrale $\Lambda'(1/2, \Pi \otimes \chi)$. La formule exprime cette valeur comme une somme tordue par $\chi$ sur le groupe de classes de cycles $\text{Pic}(\mathcal{O}_c)$ de :

  1. Un appariement de terme constant : $\text{CT}\langle\langle f^+_{0,A}, 1_{L_{A,1}\oplus 0} \otimes E_{L_{A,2}} \rangle\rangle$.
  2. Une intégrale de Rankin-Selberg régularisée : $I'(0, f_{0,A} \times \xi_0(\theta_{L_{A,1}}))$.
  3. Une somme de fonctions de Green automorphes évaluées le long de cycles géodésiques réels : $\frac{\text{vol}(U_{A,2})}{2} \Phi(f_{0,A}, G_A)$.

  La formule est donnée par :
  $$\Lambda'(1/2, \Pi \otimes \chi) = -2h_K \log \varepsilon_K \sum_{A \in \text{Pic}(\mathcal{O}_c)} \chi(A) \left( \text{CT}\langle\langle \dots \rangle\rangle + I'(\dots) + \frac{\text{vol}(U_{A,2})}{2} \Phi(f_{0,A}, G_A) \right)$$
  où $h_K$ est le nombre de classes et $\varepsilon_K$ est l'unité fondamentale de $K$.

• Interprétation géométrique : Le travail fournit une interprétation géométrique des cycles géodésiques réels $G_A$ comme composantes de la frontière de la compactification de Borel-Serre d'un corps de Siegel tordu (une variété de Shimura spin de signature $(3,2)$). Cela suggère une interprétation de la frontière pour les points « Stark-Heegner » dans $E(K[c])$.

• Application à Birch-Swinnerton-Dyer (BSD) : L'article relie ces formules analytiques à la conjecture raffinée de BSD.

  • Résultats conditionnels : En supposant la conjecture BSD, les formules dérivées fournissent des expressions explicites pour le régulateur $R_E(K[c])$ et l'ordre du groupe de Tate-Shafarevich $\#\text{X}_E(K[c])$ en termes des intégrales automorphes dérivées ci-dessus.
  • Identité inconditionnelle (Théorème 5.1) : Sous des hypothèses spécifiques (réduction semi-stable, irréductibilité des représentations de Galois résiduelles, et une condition de rang où exactement une des valeurs $L(E,1)$ ou $L(E(d_K),1)$ s'annule), l'auteur dérive une identité inconditionnelle. Cette identité équivaut un produit d'invariants arithmétiques (régulateurs, nombres de Tamagawa, périodes et ordres des groupes de Tate-Shafarevich pour $E$ et son torsion quadratique) à la somme des intégrales automorphes décrites dans le théorème principal.

Signification et affirmations
L'article affirme fournir la première formule connue reliant les valeurs de dérivées centrales de fonctions L dans le cadre quadratique réel à des invariants géométriques associés à des cycles géodésiques réels sur le produit de courbes modulaires.

• Analogue de Gross-Zagier : Le résultat est présenté comme un analogue quadratique réel de la formule de Gross-Zagier. Contrairement au cas quadratique imaginaire, où la dérivée est liée à la hauteur d'un point CM, la dérivée quadratique réelle est liée à l'évaluation de fonctions de Green le long de cycles géodésiques non compacts.
• Nouveauté de la méthode : L'auteur note que l'argument ne suit pas le cadre d'intersection arithmétique du programme de Kudla (qui repose sur les cycles CM), ni les calculs de Bruinier-Yang pour les cycles CM sur les variétés de Shimura spin. Au lieu de cela, la dérivation provient de l'évaluation de fonctions de Green le long de cycles géodésiques paramétrés par des espaces quadratiques lorentziens, utilisant des identités de Siegel-Weil interprétées via des opérateurs de Maass.
• Périodes : L'article suggère que les valeurs $\Lambda'(E/K, \chi, 1)$ sont des périodes, en les déduisant dans des cas spéciaux via des arguments de Kontsevich-Zagier, ce qui est cohérent avec l'attente que les valeurs spéciales de fonctions L soient des périodes.

Le travail ne prétend pas prouver l'existence de points rationnels (points Stark-Heegner), mais fournit plutôt une formule qui, si de tels points existent et satisfont la conjecture BSD, relierait leurs hauteurs à ces intégrales automorphes spécifiques. Il offre une nouvelle perspective sur la provenance de ces points via les frontières de variétés de Shimura de dimension supérieure.