Existence results for quasimonotone elliptic systems with growth up to critical exponents

Sintesi Tecnica: Risultati di Esistenza per Sistemi Ellittici Quasimonotoni con Crescita fino agli Esponenti Critici

Enunciato del Problema
Questo articolo investiga l'esistenza di soluzioni deboli per una classe di sistemi semilineari ellittici definiti su un dominio limitato $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ ($N \ge 2$) con un bordo $C^{0,1}$. Il sistema coinvolge non linearità presenti sia nelle equazioni differenziali che nelle condizioni al contorno:
$$\begin{cases} -\Delta u_1 + c_1(x)u_1 = f_1(x, u_1, u_2), & \text{in } \Omega, \\ -\Delta u_2 + c_2(x)u_2 = f_2(x, u_1, u_2), & \text{in } \Omega, \\ \frac{\partial u_1}{\partial \eta} = g_1(x, u_1, u_2), & \text{su } \partial\Omega, \\ \frac{\partial u_2}{\partial \eta} = g_2(x, u_1, u_2), & \text{su } \partial\Omega. \end{cases}$$
I coefficienti $c_i$ appartengono a $L^\infty(\Omega)$, e le non linearità $f_i$ e $g_i$ sono funzioni Carathéodory che soddisfano una condizione di quasimonotonia: $f_1$ e $g_1$ sono non decrescenti in $u_2$, mentre $f_2$ e $g_2$ sono non decrescenti in $u_1$.

La principale sfida matematica affrontata è la crescita di queste non linearità. A differenza di studi precedenti che limitavano la crescita a valori inferiori agli esponenti di Sobolev critici, questo lavoro permette alle non linearità di mostrare una crescita fino agli esponenti di Sobolev critici negli appropriati spazi di Lebesgue duali. Nello specifico, la crescita è controllata in $L^{\frac{2N}{N+2}}(\Omega)$ per i termini del dominio e in $L^{\frac{2(N-1)}{N}}(\partial\Omega)$ per i termini del bordo.

Metodologia
Gli autori impiegano una combinazione del metodo delle sottosoluzioni-soprasoluzioni, del lemma di Zorn e della disuguaglianza di Kato. La strategia di prova procede come segue:

1. Preliminari Scalari: Gli autori stabiliscono prima la disuguaglianza di Kato per equazioni scalari con condizioni al contorno non lineari, dimostrando che il massimo di due sottosoluzioni (e il minimo di due soprasoluzioni) rimane una sottosoluzione (o soprasoluzione, rispettivamente). Citano inoltre risultati di esistenza esistenti per equazioni scalari con crescita critica da Mavinga, Myers e Nkashama [15].
2. Costruzione dell'Insieme delle Soluzioni: Viene definito un insieme $\mathcal{J}$ di sottosoluzioni all'interno dell'intervallo ordinato determinato da una coppia di sottosoluzioni $(\underline{u}_1, \underline{u}_2)$ e soprasoluzioni $(\overline{u}_1, \overline{u}_2)$.
3. Costruzione Iterativa: Per una sottosoluzione fissata nell'insieme, gli autori costruiscono una nuova sottosoluzione risolvendo equazioni scalari per ogni componente, utilizzando la quasimonotonia per garantire che l'ordinamento sia preservato.
4. Applicazione del Lemma di Zorn: Per gestire la mancanza di compattezza associata alla crescita critica, gli autori definiscono un insieme parzialmente ordinato di sottosoluzioni e applicano il lemma di Zorn. Dimostrano che ogni catena in questo insieme ha un limite superiore utilizzando la compattezza debole in $H^1(\Omega)$, la riflessività dello spazio e il teorema della convergenza dominata di Lebesgue, sfruttando i vincoli di crescita forniti dalle sottosoluzioni e soprasoluzioni.
5. Massimalità e Minimalità: Si dimostra che l'elemento massimale di questo insieme è una soluzione del sistema. Un argomento simile (usando il minimo delle soluzioni) stabilisce l'esistenza di una soluzione minimale.

Risultati Chiave
Il teorema principale (Teorema 1.1) stabilisce che, se esiste una coppia ordinata di sottosoluzione e soprasoluzione, e le non linearità soddisfano le condizioni di crescita specificate (H1 e H2), allora:

• Il sistema possiede almeno una soluzione debole compresa tra la sottosoluzione e la soprasoluzione.
• Esiste una soluzione debole minimale e una soluzione debole massimale all'interno di questo intervallo ordinato.
• Qualsiasi altra soluzione debole nell'intervallo è limitata inferiormente dalla soluzione minimale e superiormente dalla soluzione massimale.

Inoltre, il documento nota che se vengono imposte condizioni di monotonia più forti sulle non linearità (specificamente, che $f_i + k_i u_i$ e $g_i + k_i u_i$ siano non decrescenti), le soluzioni minimale e massimale possono essere ottenute in modo costruttivo tramite sequenze iterative monotone.

Significato e Rivendicazioni
Il saggio sostiene di estendere la teoria dell'esistenza per le equazioni scalari con crescita critica (precedentemente stabilita in [15]) ai sistemi accoppiati quasimonotoni con condizioni al contorno non lineari. Gli autori evidenziano come la letteratura precedente sui sistemi tipicamente assumesse una crescita strettamente inferiore agli esponenti di Sobolev critici. Permettendo la crescita fino agli esponenti di Sobolev critici negli spazi di Lebesgue duali, questo lavoro colma una lacuna nella teoria per i sistemi accoppiati.

La significatività risiede nella capacità di gestire soluzioni non limitate e dati meno regolari in applicazioni riguardanti reazioni chimiche, processi biologici e dinamiche ecologiche dove le interazioni avvengono sia all'interno del dominio che al contorno. La prova si basa su un approccio non costruttivo (lemma di Zorn) reso necessario dalla crescita critica, distinguendosi dai metodi puramente iterativi utilizzati nei casi sub-critici. Viene fornito un esempio per illustrare la costruzione di sottosoluzioni e soprasoluzioni per un sistema specifico con non linearità dipendenti da parametri, confermando l'applicabilità del quadro teorico.