Existence results for quasimonotone elliptic systems with growth up to critical exponents

Resumo Técnico: Resultados de Existência para Sistemas Elípticos Quasimonótonos com Crescimento até Expoentes Críticos

Enunciado do Problema
Este artigo investiga a existência de soluções fracas para uma classe de sistemas semilineares acoplados definidos em um domínio limitado $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ ($N \ge 2$) com uma fronteira $C^{0,1}$. O sistema envolve não linearidades presentes tanto nas equações diferenciais quanto nas condições de contorno:
$$\begin{cases} -\Delta u_1 + c_1(x)u_1 = f_1(x, u_1, u_2), & \text{em } \Omega, \\ -\Delta u_2 + c_2(x)u_2 = f_2(x, u_1, u_2), & \text{em } \Omega, \\ \frac{\partial u_1}{\partial \eta} = g_1(x, u_1, u_2), & \text{em } \partial\Omega, \\ \frac{\partial u_2}{\partial \eta} = g_2(x, u_1, u_2), & \text{em } \partial\Omega. \end{cases}$$
Os coeficientes $c_i$ pertencem a $L^\infty(\Omega)$, e as não linearidades $f_i$ e $g_i$ são funções Carathéodory que satisfazem uma condição de quasimonotonicidade: $f_1$ e $g_1$ são não decrescentes em $u_2$, enquanto $f_2$ e $g_2$ são não decrescentes em $u_1$.

O principal desafio matemático abordado é o crescimento dessas não linearidades. Diferente de estudos anteriores que restringiam o crescimento para ser inferior aos expoentes de Sobolev críticos, este trabalho permite que as não linearidades exibam crescimento até os expoentes de Sobolev críticos nos espaços de Lebesgue duais apropriados. Especificamente, o crescimento é controlado em $L^{\frac{2N}{N+2}}(\Omega)$ para os termos do domínio e em $L^{\frac{2(N-1)}{N}}(\partial\Omega)$ para os termos de fronteira.

Metodologia
Os autores empregam uma combinação do método de sub-supersoluções, do Lema de Zorn e da desigualdade de Kato. A estratégia de prova procede da seguinte forma:

1. Preliminares Escalares: Os autores estabelecem primeiro a desigualdade de Kato para equações escalares com condições de contorno não lineares, demonstrando que o máximo de duas subsoluções (e o mínimo de duas supersoluções) permanece uma subsolução (ou supersolução, respectivamente). Eles também citam resultados de existência existentes para equações escalares com crescimento crítico de Mavinga, Myers e Nkashama [15].
2. Construção do Conjunto de Soluções: Um conjunto $\mathcal{J}$ de subsoluções é definido dentro do intervalo ordenado determinado por um par de subsolução $(\underline{u}_1, \underline{u}_2)$ e supersolução $(\overline{u}_1, \overline{u}_2)$.
3. Construção Iterativa: Para uma subsolução fixa no conjunto, os autores constroem uma nova subsolução resolvendo equações escalares para cada componente, utilizando a quasimonotonicidade para garantir que a ordenação seja preservada.
4. Aplicação do Lema de Zorn: Para lidar com a falta de compacidade associada ao crescimento crítico, os autores definem um conjunto parcialmente ordenado de subsoluções e aplicam o lema de Zorn. Eles demonstram que toda cadeia neste conjunto possui um limite superior ao utilizar a compacidade fraca em $H^1(\Omega)$, a reflexividade do espaço e o teorema da convergência dominada de Lebesgue, aproveitando os limites de crescimento fornecidos pelas sub e supersoluções.
5. Maximalidade e Minimalidade: Mostra-se que o elemento maximal deste conjunto é uma solução para o sistema. Um argumento semelhante (usando o mínimo de soluções) estabelece a existência de uma solução mínima.

Principais Resultados
O teorema principal (Teorema 1.1) estabelece que, se um par ordenado de subsolução e supersolução existe, e as não linearidades satisfazem as condições de crescimento especificadas (H1 e H2), então:

• O sistema possui pelo menos uma solução fraca situada entre a sub e a supersolução.
• Existe uma solução fraca mínima e uma solução fraca máxima dentro deste intervalo ordenado.
• Qualquer outra solução fraca no intervalo é limitada inferiormente pela solução mínima e superiormente pela solução máxima.

Adicionalmente, o artigo observa que, se condições de monotonicidade mais fortes forem impostas às não linearidades (especificamente, que $f_i + k_i u_i$ e $g_i + k_i u_i$ sejam não decrescentes), as soluções mínima e máxima podem ser obtidas construtivamente via sequências iterativas monótonas.

Significância e Alegações
O artigo afirma estender a teoria de existência para equações escalares com crescimento crítico (previamente estabelecida em [15]) para sistemas quasimonótonos acoplados com condições de contorno não lineares. Os autores destacam que a literatura anterior sobre sistemas tipicamente assumia crescimento estritamente abaixo dos expoentes de Sobolev críticos. Ao permitir o crescimento até os expoentes críticos nos espaços de Lebesgue duais, este trabalho resolve uma lacuna na teoria para sistemas acoplados.

A significância reside na capacidade de lidar com soluções não limitadas e dados de menor regularidade em aplicações envolvendo reações químicas, processos biológicos e dinâmica ecológica, onde as interações ocorrem tanto dentro do domínio quanto na fronteira. A prova baseia-se em uma abordagem não construtiva (lema de Zorn) necessária pelo crescimento crítico, distinguindo-se de métodos puramente iterativos usados nos casos subcríticos. Um exemplo é fornecido para ilustrar a construção de sub e supersoluções para um sistema específico com não linearidades dependentes de parâmetros, confirmando a aplicabilidade do arcabouço teórico.