Existence results for quasimonotone elliptic systems with growth up to critical exponents

Resumen Técnico: Resultados de Existencia para Sistemas Elípticos Cuasimonótonos con Crecimiento hasta Exponentes Críticos

Planteamiento del Problema
Este artículo investiga la existencia de soluciones débiles para una clase de sistemas semilineales acoplados definidos en un dominio acotado $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ ($N \ge 2$) con una frontera $C^{0,1}$. El sistema involucra no linealidades presentes tanto en las ecuaciones diferenciales como en las condiciones de frontera:
$$\begin{cases} -\Delta u_1 + c_1(x)u_1 = f_1(x, u_1, u_2), & \text{en } \Omega, \\ -\Delta u_2 + c_2(x)u_2 = f_2(x, u_1, u_2), & \text{en } \Omega, \\ \frac{\partial u_1}{\partial \eta} = g_1(x, u_1, u_2), & \text{en } \partial\Omega, \\ \frac{\partial u_2}{\partial \eta} = g_2(x, u_1, u_2), & \text{en } \partial\Omega. \end{cases}$$
Los coeficientes $c_i$ pertenecen a $L^\infty(\Omega)$, y las no linealidades $f_i$ y $g_i$ son funciones de Carathéodory que satisfacen una condición de cuasimotonicidad: $f_1$ y $g_1$ son no decrecientes respecto a $u_2$, mientras que $f_2$ y $g_2$ son no decrecientes respecto a $u_1$.

El principal desafío matemático abordado es el crecimiento de estas no linealidades. A diferencia de estudios previos que restringían el crecimiento para que fuera inferior a los exponentes de Sobolev críticos, este trabajo permite que las no linealidades exhiban un crecimiento hasta los exponentes de Sobolev críticos en los espacios de Lebesgue duales apropiados. Específicamente, el crecimiento está controlado en $L^{\frac{2N}{N+2}}(\Omega)$ para los términos del dominio y en $L^{\frac{2(N-1)}{N}}(\partial\Omega)$ para los términos de la frontera.

Metodología
Los autores emplean una combinación del método de sub-supersoluciones, el lema de Zorn y la desigualdad de Kato. La estrategia de la prueba procede de la siguiente manera:

1. Preliminares Escalares: Los autores establecen primero la desigualdad de Kato para ecuaciones escalares con condiciones de frontera no lineales, demostrando que el máximo de dos subsoluciones (y el mínimo de dos supersoluciones) sigue siendo una subsolución (o supersolución, respectivamente). También citan resultados de existencia existentes para ecuaciones escalares con crecimiento crítico de Mavinga, Myers y Nkashama [15].
2. Construcción del Conjunto de Soluciones: Se define un conjunto $\mathcal{J}$ de subsoluciones dentro del intervalo ordenado determinado por un par dado de subsolución $(\underline{u}_1, \underline{u}_2)$ y supersolución $(\overline{u}_1, \overline{u}_2)$.
3. Construcción Iterativa: Para una subsolución fija en el conjunto, los autores construyen una nueva subsolución resolviendo ecuaciones escalares para cada componente, utilizando la cuasimotonicidad para asegurar que el orden se preserve.
4. Aplicación del Lema de Zorn: Para manejar la falta de compacidad asociada al crecimiento crítico, los autores definen un conjunto parcialmente ordenado de subsoluciones y aplican el lema de Zorn. Demuestran que toda cadena en este conjunto tiene un límite superior utilizando la compacidad débil en $H^1(\Omega)$, la reflexividad del espacio y el teorema de la convergencia dominada de Lebesgue, aprovechando los límites de crecimiento proporcionados por las sub- y supersoluciones.
5. Maximalidad y Minimalidad: Se muestra que el elemento maximal de este conjunto es una solución al sistema. Un argumento similar (usando el mínimo de soluciones) establece la existencia de una solución mínima.

Resultados Clave
El teorema principal (Teorema 1.1) establece que si existe un par ordenado de subsolución y supersolución, y las no linealidades satisfacen las condiciones de crecimiento especificadas (H1 y H2), entonces:

• El sistema posee al menos una solución débil que se encuentra entre la subsolución y la supersolución.
• Existe una solución débil mínima y una solución débil máxima dentro de este intervalo ordenado.
• Cualquier otra solución débil en el intervalo está acotada inferiormente por la solución mínima y superiormente por la solución máxima.

Además, el artículo señala que si se imponen condiciones de monotonicidad más fuertes sobre las no linealidades (específicamente, que $f_i + k_i u_i$ y $g_i + k_i u_i$ sean no decrecientes), las soluciones mínimas y máximas pueden obtenerse constructivamente mediante secuencias iterativas monótonas.

Significación y Reivindicaciones
El artículo afirma extender la teoría de existencia para ecuaciones escalares con crecimiento crítico (previamente establecida en [15]) a sistemas acoplados cuasimótonos con condiciones de frontera no lineales. Los autores destacan que la literatura previa sobre sistemas típicamente asumía un crecimiento estrictamente inferior a los exponentes de Sobolev críticos. Al permitir el crecimiento hasta los exponentes de Lebesgue duales críticos, este trabajo resuelve un vacío en la teoría para sistemas acoplados.

La significación radica en la capacidad de manejar soluciones no acotadas y datos de menor regularidad en aplicaciones que involucran reacciones químicas, procesos biológicos y dinámica ecológica donde las interacciones ocurren tanto dentro del dominio como en la frontera. La prueba depende de un enfoque no constructivo (lema de Zorn) necesitado por el crecimiento crítico, lo que distingue este trabajo de los métodos puramente iterativos utilizados en los casos subcríticos. Se proporciona un ejemplo para ilustrar la construcción de sub- y supersoluciones para un sistema específico con no linealidades dependientes de parámetros, confirmando la aplicabilidad del marco teórico.