Zariski equisingularity of surface singularities in $\mathbb C^3$ by a local invariant

1. Il Problema

Il lavoro affronta la questione della equisingolarità di Zariski per famiglie di singolarità di superficie analitiche in $\mathbb{C}^3$, definite da $V_t = f_t^{-1}(0)$, dove $t$ è un parametro.
Storicamente, la nozione di equisingolarità di Zariski è stata sviluppata per ipersuperfici isolate. Per le singolarità di superficie isolate in $\mathbb{C}^3$, Briançon e Speder (e successivamente Briançon e Henry) hanno dimostrato che una famiglia è genericamente equisingolare di Zariski se e solo se sono costanti:

1. I numeri di Teissier $\mu^*(V_t)$ (una sequenza di numeri di Milnor associati a sezioni generiche).
2. Il numero di punti doppi ordinari ($k(V_t)$) e di cuspidi ($\phi(V_t)$) che appaiono nella proiezione lineare generica della fibra generale di una deformazione miniversale.

Tuttavia, questi invarianti (in particolare $\mu$, $k$ e $\phi$) non sono definiti per singolarità non isolate. Il problema principale risolto in questo articolo è fornire un criterio unificato e intrinseco per l'equisingolarità di Zariski che valga sia per le singolarità isolate che per quelle non isolate, senza fare riferimento a proiezioni specifiche o a deformazioni miniversal, ma utilizzando un singolo invariante locale.

2. Metodologia

Gli autori adottano un approccio basato sulla teoria delle proiezioni di rango corank 1 e sulle loro discriminanti. La metodologia si articola nei seguenti punti:

• Sistemi di Coordinate $\nu$-trasversali: Introducono e utilizzano sistemi di coordinate locali $(x, y, z)$ che soddisfano condizioni di "trasversalità nidificata e uniforme" ($\nu$-trasversali). Questo garantisce che la proiezione $(x, y, z) \to (x, y)$ e le successive proiezioni dei luoghi discriminanti siano ben comportate (generiche nel senso di Zariski).
• Sequenza di Discriminanti Generalizzati: Invece di usare solo il discriminante classico (che potrebbe non essere ridotto), gli autori utilizzano i discriminanti generalizzati (o sub-discriminanti) di una successione di proiezioni.
  • Si considera il discriminante $D_f$ della superficie $V$.
  • Si considera il discriminante di $D_f$ (o dei suoi discriminanti generalizzati), e così via, creando una catena di varietà discriminanti.
• Costruzione dell'Invariante: Definisco un nuovo invariante, chiamato sequenza di molteplicità ($mult^*(V)$), basato sulle molteplicità di questi luoghi discriminanti successivi in un sistema di coordinate $\nu$-trasversale.
• Dimostrazione di Indipendenza: Utilizzano teoremi di stabilità (in particolare il Teorema 1.6 e la Proposizione 2.2) per dimostrare che questa sequenza di molteplicità è un invariante analitico, indipendente dalla scelta delle coordinate $\nu$-trasversali.

3. Contributi Chiave

A. Definizione della Sequenza di Molteplicità ($mult^*(V)$)

Per una singolarità di superficie $(V, 0)$, la sequenza di molteplicità è definita come:
$$mult^*(V) = (mult_0(V), mult_0(D_f), i_0, mult_0(D^{i_0}_{D_f}))$$
dove:

• $mult_0(V)$ è la molteplicità della superficie nell'origine.
• $D_f$ è il discriminante della proiezione generica.
• $i_0 = ind(D_f)$ è l'indice del primo discriminante generalizzato non identicamente nullo.
• $D^{i_0}_{D_f}$ è il corrispondente discriminante generalizzato.

Questa definizione funziona sia per singolarità isolate che non isolate.

B. Invarianza e Semicontinuità

Gli autori dimostrano che:

1. $mult^*(V)$ è un invariante analitico (non dipende dal sistema di coordinate scelto, purché sia $\nu$-trasversale).
2. La sequenza è semicontinua superiormente nelle famiglie analitiche (Proposizione 4.1).

C. Relazione con i Risultati Classici

Per le singolarità isolate, gli autori mostrano (Proposizione 3.1) che la costanza della sequenza $mult^*(V_t)$ è equivalente alla costanza dei numeri di Teissier $\mu^*(V_t)$, del numero di punti doppi $k(V_t)$ e del numero di cuspidi $\phi(V_t)$.
Di conseguenza, i teoremi classici di Briançon-Speder e Briançon-Henry diventano corollari diretti del risultato principale di questo lavoro.

4. Risultati Principali

Il teorema centrale (Teorema 0.2) stabilisce l'equivalenza tra le seguenti condizioni per una famiglia analitica di singolarità di superficie $V_t \subset \mathbb{C}^3$:

1. La famiglia è $\nu$-trasversalmente equisingolare di Zariski (dopo un cambiamento lineare generico di coordinate).
2. La famiglia è genericamente equisingolare di Zariski (dopo un cambiamento di coordinate generico).
3. La sequenza di molteplicità $mult^*(V_t, 0)$ è costante rispetto al parametro $t$.

Inoltre, il Corollario 0.3 afferma che se una famiglia è equisingolare di Zariski dopo un cambiamento lineare generico di un sistema di coordinate, allora lo è per qualsiasi sistema di coordinate (dopo un opportuno cambiamento lineare generico). Questo risolve la questione della dipendenza dalle coordinate per l'equisingolarità di Zariski in dimensione 3.

5. Significato e Implicazioni

• Unificazione: Il lavoro unifica la teoria dell'equisingolarità di Zariski per singolarità isolate e non isolate in $\mathbb{C}^3$. Fornisce un unico invariante locale ($mult^*$) che sostituisce la combinazione complessa di $\mu^*$, $k$ e $\phi$ necessaria nel caso isolato.
• Generalizzazione: Estende la validità dei criteri di equisingolarità a casi in cui i numeri di Milnor e le caratteristiche topologiche classiche non sono definiti (singolarità non isolate).
• Strumento Computazionale: La definizione basata sulle molteplicità dei discriminanti generalizzati offre un approccio più algebrico e potenzialmente più computabile rispetto alla necessità di analizzare le deformazioni miniversal e le loro fibre generiche.
• Stabilità: La dimostrazione che l'equisingolarità di Zariski implica la costanza di questo invariante (e viceversa) rafforza il legame tra la geometria algebrica (discriminanti) e la topologia delle singolarità (condizioni di Whitney, equimolteplicità).

In sintesi, Parusiński e Păunescu forniscono una caratterizzazione completa e intrinseca dell'equisingolarità di Zariski per le superfici in $\mathbb{C}^3$, risolvendo il problema della non-isolatezza e semplificando i criteri di verifica attraverso l'introduzione della sequenza di molteplicità.