Zariski equisingularity of surface singularities in $\mathbb C^3$ by a local invariant

Resumen Técnico: Equisingularidad de Zariski de Singularidades de Superficie en $\mathbb{C}^3$ mediante un Invariante Local

1. Planteamiento del Problema

El artículo aborda el problema de caracterizar la equisingularidad de Zariski para familias de singularidades de superficies analíticas en $\mathbb{C}^3$.

• Contexto Histórico: La equisingularidad de Zariski, propuesta por O. Zariski, es una noción algebro-geométrica definida recursivamente mediante discriminantes de proyecciones de rango de corank 1. Para singularidades de superficies aisladas en $\mathbb{C}^3$, Briançon y Speder, y posteriormente Briançon y Henry, demostraron que una familia es equisingular de Zariski si y solo si ciertos invariantes numéricos son constantes: los números de Teissier ($\mu^*$), el número de puntos dobles ordinarios ($k$) y el número de cúspides ($\phi$).
• La Limitación: Estos resultados y definiciones (como el número de Milnor $\mu$) están restringidos a singularidades aisladas. Para singularidades no aisladas en $\mathbb{C}^3$, los invariantes clásicos ($\mu$, $k$, $\phi$) no están definidos o no son aplicables directamente.
• Objetivo: Los autores buscan definir un nuevo invariante local, llamado secuencia de multiplicidad ($mult^*$), que sea aplicable tanto a singularidades aisladas como no aisladas, y demostrar que su constancia en una familia es equivalente a la equisingularidad de Zariski genérica.

2. Metodología y Conceptos Clave

A. Nuevas Definiciones de Proyección y Transversalidad
El trabajo se basa en la noción de sistema de coordenadas $\nu$-transversal (nested uniformly transverse), introducida previamente por los autores. Un sistema de coordenadas $(x, y, z)$ es $\nu$-transversal para una superficie $V$ si:

1. La proyección $(x, y, z) \to (x, y)$ es transversal a $V$ en el origen (el cono tangente no contiene al eje $z$).
2. La proyección $(x, y) \to x$ es transversal al lugar discriminante $\Delta_0$ en el origen.
3. La familia de singularidades de curvas planas $\Delta_b$ (discriminantes de proyecciones paralelas) es equisingular para $b$ pequeño.

B. La Secuencia de Multiplicidad ($mult^*$)
Los autores definen un nuevo invariante para una singularidad de superficie $(V, 0)$ definida por $f=0$:
$$mult^*(V) = (mult_0(V), mult_0(D_f), i_0, mult_0(D^{i_0}D_f))$$
Donde:

• $D_f$ es el discriminante de $f$ (asociado a una proyección genérica).
• $D^i_g$ son los discriminantes generalizados (o subdiscriminantes) de $g$.
• $i_0 = \text{ind}(D_f)$ es el índice del primer discriminante generalizado que no es idénticamente cero.
• La secuencia captura las multiplicidades de los discriminantes sucesivos de proyecciones de rango de corank 1.

C. Herramientas Teóricas

• Teorema de Preparación de Weierstrass: Utilizado para expresar las funciones como polinomios en una variable.
• Discriminantes Generalizados: Se utilizan para manejar casos donde el discriminante no es reducido (singularidades no aisladas), reemplazando la necesidad de tomar la forma reducida explícita.
• Propiedades de Semicontinuidad: Se demuestra que la secuencia de multiplicidad es semicontinua superiormente en familias analíticas.

3. Contribuciones Principales

1. Generalización a Singularidades No Aisladas: La contribución más significativa es la definición de $mult^*(V)$, que extiende la teoría de equisingularidad de Zariski a singularidades de superficie que no son necesariamente aisladas.
2. Independencia de Coordenadas: Se demuestra (Proposición 2.3) que la secuencia de multiplicidad es un invariante analítico, es decir, no depende de la elección del sistema de coordenadas local, siempre que sea $\nu$-transversal.
3. Unificación de Resultados: Se muestra que para singularidades aisladas, la secuencia $mult^*(V)$ se puede expresar completamente en términos de los números de Teissier ($\mu^*$), $k$ y $\phi$. Esto conecta la nueva teoría con los resultados clásicos de Briançon, Speder y Henry.
4. Caracterización de la Equisingularidad: Se establece una equivalencia fundamental entre la constancia de este invariante y la propiedad geométrica de equisingularidad.

4. Resultados Principales

Teorema 0.2 (Resultado Central):
Para una familia analítica de singularidades de superficie $V_t = f_t^{-1}(0)$ en $\mathbb{C}^3$ parametrizada por $t \in (\mathbb{C}^l, 0)$, las siguientes condiciones son equivalentes:

1. La familia es $\nu$-transversal y equisingular de Zariski tras un cambio de coordenadas lineal genérico.
2. La familia es equisingular de Zariski tras un cambio de coordenadas lineal genérico.
3. La secuencia de multiplicidad $mult^*(V_t, 0)$ es constante para todo $t$.

Corolario 0.3:
Si una familia es equisingular de Zariski tras un cambio de coordenadas genérico, entonces es $\nu$-transversal y equisingular de Zariski tras cualquier cambio de coordenadas lineal genérico. Esto refuerza la robustez de la definición.

Proposición 4.1:
La secuencia de multiplicidad es semicontinua superiormente en familias analíticas. Esto significa que la "complejidad" medida por la secuencia no puede disminuir al deformar la singularidad, y la constancia es una condición fuerte de estabilidad.

Proposición 3.1 (Conexión con el caso aislado):
Para una singularidad aislada, la secuencia de multiplicidad es:
$$mult^*(V) = (\mu_1 + \mu_0, \mu_2 + \mu_1, 1, \mu_3 + \mu_2 + 2k + 3\phi)$$
Esto demuestra que la constancia de $mult^*$ es equivalente a la constancia de los invariantes clásicos en el caso aislado.

5. Significado e Impacto

• Resolución de un Problema Abierto: El trabajo cierra la brecha entre la teoría de equisingularidad para singularidades aisladas y no aisladas en dimensión 3, proporcionando un criterio unificado basado en un solo invariante local.
• Simplificación de Criterios: En lugar de verificar múltiples invariantes ($\mu^*, k, \phi$) que solo existen para casos aislados, ahora basta con verificar la constancia de la secuencia de multiplicidad $mult^*$.
• Aplicaciones en Geometría Analítica: La noción de sistemas $\nu$-transversales y la estabilidad de la secuencia de multiplicidad tienen implicaciones para la construcción de parametrizaciones de cuñas polares (polar wedges) y el estudio de la topología de singularidades complejas.
• Relación con Condiciones de Whitney: El artículo reafirma que la equisingularidad de Zariski (para proyecciones genéricas) implica las condiciones de Whitney, pero es una condición más fuerte en general (excepto en curvas planas), proporcionando una estructura más fina para el estudio de familias de singularidades.

En conclusión, Parusiński y Păunescu han logrado definir un invariante local robusto que caracteriza completamente la equisingularidad de Zariski en $\mathbb{C}^3$, generalizando resultados clásicos y ofreciendo nuevas herramientas para el análisis de singularidades no aisladas.