Zariski equisingularity of surface singularities in $\mathbb C^3$ by a local invariant

Resumo Técnico: Equisingularidade de Zariski de Singularidades de Superfície em $\mathbb{C}^3$ por um Invariante Local

1. O Problema

O artigo aborda o problema fundamental da equisingularidade de Zariski para famílias de singularidades de superfícies analíticas em $\mathbb{C}^3$.

• Contexto Histórico: A equisingularidade de Zariski, proposta por Oscar Zariski, é uma noção algebro-geométrica mais forte que as condições de Whitney. Para singularidades isoladas de superfícies em $\mathbb{C}^3$, Briançon e Speder (1970s) e Briançon e Henry demonstraram que uma família é genericamente equisingular de Zariski se e somente se um conjunto específico de invariantes numéricos permanecer constante.
• Os Invariantes Clássicos: Para singularidades isoladas, esses invariantes são:
  1. Os números de Teissier ($\mu^*$), relacionados aos números de Milnor de seções genéricas.
  2. O número de pontos duplos ordinários ($k$) e o número de cúspides ($\phi$) da projeção genérica da fibra de uma deformação miniversal.
• A Lacuna: Estes invariantes ($\mu^*, k, \phi$) não estão definidos para singularidades não isoladas. O problema central deste trabalho é generalizar a caracterização da equisingularidade de Zariski para o caso de singularidades de superfícies que não são necessariamente isoladas, substituindo os invariantes clássicos por uma nova medida local.

2. Metodologia

Os autores desenvolvem uma abordagem baseada em discriminantes sucessivos e projeções genéricas, utilizando a estrutura de coordenadas aninhadas.

• Definição de Projeções e Discriminantes:
  • Considera-se uma família analítica $V_t = f_t^{-1}(0) \subset (\mathbb{C}^3, 0)$.
  • Utilizam-se projeções de corank 1 (genéricas) para obter discriminantes. O discriminante $D_f$ de uma função $f$ (polinômio de Weierstrass em $z$) é um conjunto no plano $(x,y)$.
  • Introduzem-se discriminantes generalizados (ou subdiscriminantes) para lidar com casos onde o discriminante não é reduzido (comum em singularidades não isoladas).
• Sistema de Coordenadas $\nu$-Transverso:
  • Definem um sistema de coordenadas local $(x, y, z)$ como $\nu$-transverso se:
    1. A projeção $(x,y,z) \to (x,y)$ é transversal à superfície $V$.
    2. A projeção $(x,y) \to x$ é transversal ao discriminante $\Delta_0$ na origem.
    3. A família de curvas planas $\Delta_b$ (discriminantes de projeções paralelas) é equisingular para $b$ pequeno.
  • Demonstram que, após uma mudança linear genérica de coordenadas, qualquer sistema torna-se $\nu$-transverso.
• Construção do Novo Invariante:
  • Definem a Sequência de Multiplicidade ($mult^*(V)$) baseada nas multiplicidades dos discriminantes sucessivos de $V$ sob projeções genéricas.
  • A sequência é definida como:
    $$mult^*(V) = (mult_0(V), mult_0(D_f), i_0, mult_0(D_{i_0}D_f))$$
    onde $i_0$ é o índice do primeiro discriminante generalizado não identicamente nulo.

3. Principais Contribuições e Resultados

A. Definição do Invariante $mult^*(V)$
Os autores definem a sequência de multiplicidade para qualquer singularidade de superfície (isolada ou não) em $\mathbb{C}^3$.

• Propriedade Chave: Demonstram que $mult^*(V)$ é um invariante analítico (independente do sistema de coordenadas local escolhido) e é semicontínuo superiormente em famílias analíticas.

B. Teorema Principal (Teorema 0.2)
O resultado central estabelece a equivalência entre a equisingularidade de Zariski e a constância do novo invariante. Para uma família analítica $V_t$ em $\mathbb{C}^3$, as seguintes condições são equivalentes:

1. A família é $\nu$-transversal e equisingular de Zariski (após uma mudança linear genérica de coordenadas).
2. A família é equisingular de Zariski (após uma mudança linear genérica).
3. A sequência de multiplicidade $mult^*(V_t, 0)$ é constante para todo $t$.

C. Conexão com o Caso Isolado (Seção 3)
Para singularidades isoladas, os autores provam que a constância da nova sequência $mult^*(V_t)$ é equivalente à constância dos invariantes clássicos de Briançon-Henry ($\mu^*, k, \phi$).

• Eles derivam uma fórmula explícita que relaciona $mult^*(V)$ com os números de Teissier e os números de pontos duplos/cúspides:
  $$mult^*(V) = (\mu_1+\mu_0, \mu_2+\mu_1, 1, \mu_3+\mu_2+2k+3\phi)$$
  Isso confirma que o novo invariante generaliza corretamente a teoria existente para o caso isolado.

D. Semicontinuidade (Proposição 4.1)
Demonstram que a sequência de multiplicidade é semicontínua superiormente em famílias. Isso é crucial para a prova do teorema principal, pois garante que a constância em uma família implica que os valores não "caem" para valores menores em vizinhanças, caracterizando a estabilidade da estrutura singular.

4. Significado e Impacto

• Generalização da Teoria: O trabalho remove a restrição de "singularidade isolada" da teoria de equisingularidade de Zariski para superfícies em $\mathbb{C}^3$. Isso permite estudar famílias onde o lugar singular pode ter dimensão positiva (não isolado).
• Unificação Conceitual: Substitui um conjunto complexo de invariantes ($\mu^*, k, \phi$) por uma única sequência de multiplicidade derivada puramente da geometria dos discriminantes sucessivos. Isso simplifica a verificação da equisingularidade.
• Ferramenta para Geometria Analítica: A introdução de sistemas de coordenadas $\nu$-transversos e a demonstração de que a equisingularidade genérica linear implica a equisingularidade $\nu$-transversa fornecem ferramentas robustas para analisar a topologia e a estrutura analítica de famílias de singularidades.
• Aplicações Futuras: A estrutura desenvolvida (especialmente o uso de discriminantes generalizados e a noção de $\nu$-transversalidade) é fundamental para trabalhos posteriores sobre parametrização de "polar wedges" e a estrutura local de singularidades, conectando-se a trabalhos de Neumann, Pichon e outros.

Em resumo, Parusiński e Păunescu fornecem uma caracterização completa e intrínseca da equisingularidade de Zariski para superfícies em $\mathbb{C}^3$, válida tanto para casos isolados quanto não isolados, através de um invariante local construído a partir da geometria dos discriminantes.